En una categoría monoidal cerrada, ¿cómo puedo derivar un morfismo$C^A\times C^B\to C^{A+B}$?

Question

Deje que$A$,$B$ y$C$ sean objetos de una categoría monoidal cerrada que también sea cerrada bicartesiana. ¿Cómo puedo derivar un morfismo$C^A\times C^B\to C^{A+B}$?

$(-)\times (-)$ denota el producto,$(-)+(-)$ el coproducto y$(-)^{(-)}$ la exponenciación.

Answer 1

Cartesiano de cierre se aplica a los cartesiano categorías, es decir, categorías que son (simétrica) monoidal con respecto a la (binario) producto bifunctor (básicamente cualquier finitely completa categoría es cartesiano). Cartesiana cerrada categorías son las categorías donde cada functor $A\times-$ tiene un derecho adjoint $(-)^A$ darse cuenta de la binatural bijection $$ {\cal C}(A\times B,C)\cong {\cal C}(B, C^A) $$ En esta configuración se puede aprovechar el hecho de que el derecho adjoint preservar los límites (de ser el bifunctor $(A,C)\mapsto C^A$ contravariante en $A$ esto significa que se envía colimits a límites): más precisamente (me encantan estos cálculos por tonterías!), en este caso particular, usted tiene que $$\begin{align*} {\cal C}(X, C^{A\coprod B}) & \cong {\cal C}(X\times(A\amalg B),C)\\ &\cong {\cal C}\Big((X\times A)\amalg(X\times B),C\Big)\\ &\cong {\cal C}\big(X\times A, C\big)\times {\cal C}\big(X\times B,C\big) \\ &\cong {\cal C}(X,C^A)\times {\cal C}(X,C^B) \\ &\cong {\cal C}(X,C^A\times C^B) \end{align*}$$ Ahora puede concluir que, desde el Yoneda lema le dice que los dos objetos que quería vincular son isomorfos (ya que dan lugar a canónicamente isomorfo hom-presheaves).

De hecho, esto funciona en más generalidad, es decir, en un (supongamos: simétrico) categoría monoidal $\cal C$ de manera tal que el tensor de la functor $\otimes\colon (A,B)\mapsto A\otimes B$ da lugar a functors $A\otimes -$, cada uno de los cuales tiene derecho adjoint $[A,-]$ ("internal hom" en la categoría monoidal.