¿Los homomorfismos realmente tienen que ser continuos?

Question

yo lei eso

Si$\varphi, \psi$ son homomorfismos continuos de un álgebra normada$A$ a un álgebra normada$B$ entonces$\varphi = \psi$ si$\varphi$ y$\psi$ son iguales en un conjunto $S$ que genera el álgebra$A$.

¿Realmente tienen que ser continuos? Por lo que puedo decir, incluso si no lo están, pero estoy de acuerdo con$S$ y$S$ genera$A$, entonces todavía tienen que ser iguales. La igualdad parece seguirse de las propiedades de los homomorfismos.

Answer 1

Tiene usted derecho a esta pregunta. El problema, es probable que un uso ambiguo de "genera." Si $S$ genera $A$ de manera abstracta como un $\mathbf{R}$-álgebra o $\mathbf{C}$-álgebra o lo que sea, entonces sí, como tú supones, no hay necesidad de asumir la continuidad. Pero a veces, en el contexto de, por ejemplo, álgebras de Banach o más general topológica de los grupos, la gente usa el término "genera" cuando en realidad quieren decir "topológicamente genera." Esto significa que el resumen subalgebra de $A$ generado por $S$ es denso en $A$. Por lo general esto es estrictamente más débil de lo $S$ generación $A$ de manera abstracta como un álgebra. Si $S$ sólo topológicamente genera $A$ como álgebra, entonces a la conclusión de que la $\varphi=\psi$ si $\varphi\vert_S=\psi\vert_S$, de hecho la necesidad de asumir la continuidad (y uno tiene que asumir que $B$ es Hausdorff, pero ya que es normativa, va a ser).

EDIT (para responder a la observación formulada por el OP): El conjunto de $\{a\in A:\varphi(a)=\psi(a)\}$ es la inversa de la imagen de la diagonal $\Delta\subseteq B\times B$ por debajo del anillo mapa de $(\varphi,\psi):A\rightarrow B\times B$$a\mapsto(\varphi(a),\psi(a))$. Por lo tanto, es una subalgebra de $A$ que, si $B$ es Hausdorff, además, se cerró en $A$. Por lo tanto, si contiene $S$, es decir, si $\varphi\vert_S=\psi\vert_S$, a continuación, contiene el cierre de la subalgebra generado por $S$, lo que, por supuesto, es todo de $A$, lo $\varphi=\psi$.