¿Un dominio unidimensional con infinitamente muchos máximos ideales y radical de Jacobson de cero?

Question

Estoy buscando un ejemplo de no-semi-local, no Jacobson dominio $A$, habiendo $\dim(A)=1$.

Un anillo conmutativo $A$ no es Jacobson si se tiene un primer ideal que no es una intersección de máxima ideales. Para un uno-dimensional de dominio, que se reduce a cero ideal $0$ estrictamente contenida en el Jacobson radical $rad(A)$, la intersección de todos los máximos ideales de la $A$.

Tal $A$ es necesariamente no-Noetherian, como se muestra aquí: https://math.stackexchange.com/q/840896

Answer 1

Tomemos, por ejemplo, $A$ a ser la integral de cierre de $\mathbb{Z}_{(p)}$$\bar{\mathbb{Q}}$. A continuación, $A$ es de dimensión $1$ (porque es integral sobre algo de la dimensión de $1$) y un dominio. Además, hay una infinidad de primer ideales se encuentra por encima del $(p)$ (porque no son algebraicas campo de extensiones de $\mathbb{Q}$ arbitrario de grado que se unramified $(p)$), pero cada ideal maximal de a $A$ contiene $p$.

Si usted es más de un geométricas persona de mente - como yo - entonces, por supuesto, el ejemplo análogo "tome $A$ a ser la integral de cierre de $k[x]_{(x-a)}$ $\bar{k(X)}$" también funciona.