¿Mono ' s y Epi ' s en la categoría Rel?

Question

Lo siento solicite una pregunta trivial, pero no puedo encontrar la respuesta a cualquier lugar.

Pregunta. ¿Cuáles son los monomorphisms/epimorphisms en el Rel?

Además, ¿cuál es la terminología estándar para la descripción de estas ideas?

Aquí está mi intento de respuesta, aunque me he tenido que inventar mi propia terminología. Vamos a escribir $f^{-1}$ para el converso de $f$, e $xy$ para el par ordenado $(x,y)$. Entonces tenemos:

Definición. Para todas las relaciones $f : X \rightarrow Y$, defina los siguientes.

1. $f$ total iff para todos los $x \in X$ existe $y \in Y$ tal que $xy \in f$.
2. $f$ es un tubo (aka función parcial) iff para todos los $x \in X$ y todos los $y,\bar{y} \in Y$ tal que $xy \in f$$x\bar{y} \in f$, sostiene que $y=\bar{y}$.
3. $f$ es cototal iff $f^{-1}$ es total.
4. $f$ es un cotube iff $f^{-1}$ es un tubo.

Tenga en cuenta que bajo estas definiciones, una función es un total del tubo. (En otras palabras, una función es un total parcial de la función. Sin embargo, esta es una muy torpe redacción.)

De todos modos, en estas definiciones, yo esperaría que:

• El monomorphisms en Rel son, precisamente, el total de cotubes.
• El epimorphism en Rel son precisamente los cototal tubos.

Una vez más, lo siento si es una pregunta muy básica, pero no puedo encontrar la respuesta a cualquier lugar.

Answer 1

Este es el tipo de cosa que es mejor trabajado como un ejercicio de escrito en cualquier lugar de forma explícita en la literatura, creo. De todos modos...

El functor $\text{Hom}(1, -)$ conserva todos los límites, por lo que conserva monomorphisms (ejercicio, o ver en esta entrada del blog). Envía una relación de $R : X \to Y$ a la inducida directa de la imagen de mapa de $R_{\ast} : 2^X \to 2^Y$ en los subconjuntos, así, en particular, un monomorphism en $\text{Rel}$ necesidades para inducir un inyectiva tal mapa. $\text{Hom}(1, -)$ , es fiel también, lo que refleja la monomorphisms (ejercicio, o ver en esta entrada del blog). Por lo tanto un monomorphism es, precisamente, una relación $R$ tal que $R_{\ast}$ es inyectiva.

En particular, $R_{\ast}$ tiene que enviar a cada elemento de a $X$ a distintas no vacía de subconjuntos de a $Y$ (por lo $R$ total en su terminología). Esta condición es necesaria pero no suficiente. Por otra parte, $R$ no es necesariamente un cotube en su terminología. Como contraejemplo, considere la posibilidad de

$$R : \{ 1, 2 \} \to \{ 3, 4, 5 \}$$

dado por $R_{\ast}(1) = \{ 3, 4 \}, R_{\ast}(2) = \{ 4, 5 \}$ y la ampliación de la unión. Este contraejemplo también muestra que $R$ no es necesariamente una función.

Ahora, $\text{Rel}$ es una daga de la categoría. La daga (transpose) de la operación en cualquier daga de la categoría de los intercambiadores de monomorphisms y epimorphisms, de modo que se obtenga una descripción completa de epimorphisms así (en términos de la functor $\text{Hom}(-, 1)$ e inversa de imágenes, para ser más explícito).