¿Por qué es legal considerar$\frac{dy}{dx}$ para una curva paramétrica cuando y puede que no sea una función válida de x?

Question

Al derivar la fórmula para la derivada de una curva paramétrica, en la forma de $x = x(t)$$y = y(t)$, la regla de la cadena se aplica a $\frac{dy}{dt}$ obtener $\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}$, a partir de la cual la pendiente de $y$ con respecto al $x$ puede ser obtenida.

Mi pregunta es: ¿por qué es legal el uso de $\frac{dy}{dx}$ al $y$ no es a menudo una función de $x$?

Por ejemplo, la curva descrita por las ecuaciones paramétricas $x=6sin(t)$ $y=t^2+t$ (imagen aquí) está claro que no es una función de $x$, ya que falla en la línea vertical de la prueba infinitamente muchas veces, y sin embargo,$\frac{dy}{dx} = \frac{2t+1}{6cos(t)}$.

¿Qué es la intuición detrás de $\frac{dy}{dx}$ en este caso? A menudo pienso en de $\frac{dy}{dx}$ el (único) pendiente inducida a partir de un pequeño cambio en el $x$, pero que no tiene sentido aquí, ya que un pequeño cambio en $x$ corresponde a infinidad de cambios en $y$.

Answer 1

Hay un importante teorema de cálculo que dice, básicamente, que para cualquier punto en una (agradable) de la curva, donde la curva no es vertical y no se auto-intersección, hay una pieza de la curva que rodea ese punto donde la curva se parece a la gráfica de una función. En otras palabras, hay una función de $y(x)$ cuya gráfica coincide con la pequeña porción de la curva. Desde los derivados sólo se preocupan por el entorno inmediato de cualquier punto dado, esto le permite dar sentido a $\frac{dy}{dx}$ en ese punto.

Answer 2

Los hechos importantes que son ambos $x$ $y$ son funciones de $t$ y para cada valor del $t$ allí es solamente un punto de la curva. Si la curva tiene tangente horizontal no en ese momento, la pendiente de la tangente se encontrarán sustituyendo el valor de $t$ en la ecuación de $\dfrac{dy}{dx}$ en ese momento.