¿Por qué no son isomorfos$xy=0$ y$x^2-x=0$?

Question

No estoy seguro de cómo rigor copia de seguridad de mi intuición de que las curvas dadas por $x^2-x=0$ $xy=0$ $\mathbb{A}^2_k$ no son isomorfos.

Si me denotar las variedades como $V_1=V(xy)$$V_2=V(x^2-x)$, $V_1$ es de los ejes de coordenadas, y $V_2$ es la inconexión de las líneas verticales de la $x=0$$x=1$. Sospecho que estas curvas no son isomorfos desde los ejes se cruzan en el origen.

Sé de dos variedades algebraicas $V_1$ $V_2$ son isomorfos si tenemos inversa regular mapas de $\varphi:V_1\to V_2$$\psi:V_2\to V_1$. Yo creo que debe ser un problema de la definición de inversa regular mapas cerca de $(0,0)$, de modo que no regulares de mapas podría existir. ¿Por qué son estas curvas no isomorfos?

Answer 1

a) La curva de $V_2$ está desconectado porque es distinto de la unión de sus dos no vacío disjont abierto Zariski subconjuntos $x\neq 0$$x\neq 1$.
También se puede ver de manera algebraica: una afín algebraicas en la variedad está conectado iff su anillo de funciones regulares $A$ no tiene ningún elemento idempotente ($a^2=a$) además de la $0$$1$.
Este no es el caso de $A_2=\frac{k[X,Y]}{(X^2-X)}$, ya que el $x$= clase de $X$ es un idempotente $\neq0,1$.

b) Un espacio topológico está conectado tan pronto como es la unión de dos subespacios con los no-vacío intersección.
Se puede aplicar esto a los dos subespacios $x=0,y=0$$V_1$, tanto isomorfo conectado espacio de $\mathbb A^1_k$, y se intersectan en $(0,0)$.
Aquí el algebraicas criterio puede ser aplicado también, dándome cuenta de que cada elemento de a $A_1=\frac{k[X,Y]}{(XY)}$ únicamente pueden ser escritos como $c+xa(x)+yb(y)$, pero el (fácil) cálculo no es particularmente revelador.

Answer 2

Un isomorfismo entre dos afín a las curvas algebraicas sobre un campo produce un isomorfismo de sus correspondientes anillos de regular las funciones de $k[x,y]/(x(x-1))$$k[x,y]/(xy)$. Se puede demostrar que estos anillos no son isomorfos? Si conoce el concepto de localización, localizar el segundo anillo del ideal $m=(x,y)$, es decir, invertir todos los elementos fuera de este ideal. A continuación, alinear, es decir, el lugar ideal para los $m$ de los locales anillo de considerar el $k$-espacio vectorial $m/m^2$. Ahora tire de este espacio vectorial de nuevo por el hipotético isomorfismo para obtener el vector de espacio de la preimagen. Se puede distinguir estos dos espacios vectoriales? Lo invariante mejor distingue entre dos espacios vectoriales?

Answer 3

Podría hacer que su idea sea rigurosa, pero solo mirando las imágenes (lo que puede ser engañoso, podría pensar que$y^2 = x^3 - x$ se desconectó al mirar la imagen en más de$\mathbb R$, por ejemplo) parece haber una Diferencia topológica básica entre estas dos variedades.

La parte más difícil será mostrar rigurosamente que$V(xy)$ está conectado. Creo que puedes usar el hecho de que cada eje es isomorfo a$\mathbb{A}^1$ para hacer esto sin demasiado dolor.