¿Por qué "una función continua en un solo punto" no es un oxímoron?

Question

Entiendo que hay funciones que, por definición de continuidad, pueden ser continuas en un solo punto, como por ejemplo

$$f(x)=\begin{cases} x,&\text{if }x\in\Bbb Q\\ 0,&\text{if }x\in\Bbb R\setminus\Bbb Q\;. \end{cases}$$

que es continua sólo en $x=0$ . Pero es continua porque satisface la definición formal de continuidad. Sin embargo, la continuidad en un solo punto me parece un oxímoron. Entiendo que los conceptos matemáticos son diferentes a los significados estándar de las palabras en los lenguajes naturales, así que mi pregunta es la siguiente:

¿La definición clásica de continuidad no capta el concepto de continuidad previsto para este caso patológico? ¿Ha intentado alguien modificar la definición de continuidad para que falle este caso patológico? Lo llamo patológico porque imagino que, históricamente, el concepto original de continuidad intentaba captar la idea de línea "conectada". Pero puede que me equivoque.

Answer 1

A veces, la intuición es errónea, y debemos aprender de las matemáticas, en lugar de intentar que las matemáticas se ajusten a la intuición.

Dicho esto, apuesto a que lo que probablemente está intuyendo no es algo que deba llamarse "continuo en el punto $P$ "Debería llamarse "continuo en un barrio del punto $P$ ". Por ejemplo, "existe $a < P < b$ tal que $f$ es continua en $(a,b)$ ". Así que las matemáticas ya se ajusta a la intuición, una vez que se traduce correctamente entre ellos.

Answer 2

Definición: Para el espacio topológico $(X,\mathcal{T})$ y $(Y, \mathcal{S})$ , un mapeo $f: X\rightarrow Y$ se dice que continua en el punto $x_0$ en $X$ previsto para cualquier barrio abierto $O$ de $f(x_0)$ , hay un barrio abierto $U$ para lo cual $f(U) \subset O$ .

Entonces decimos $f$ es continuo siempre que sea continua en cada punto en $X$ .

Esta es la definición topológica de continuidad, aunque no entiendas nada de topología, no pasa nada. Lo importante de esta definición es que la idea de la continuidad en un solo punto es lo primero . Entonces, si la función es continua en cada punto del dominio, lo abreviamos diciendo simplemente que la función es continua.

Answer 3

Mediante un análisis no estándar, existe un enfoque de "segmento infinitesimal" para la continuidad en un punto: una función $f$ es continua en un punto $a$ si, para cualquier infinitesimal $h$ la diferencia $f(a+h)-f(a)$ (en realidad, ${}^*f(a+h)-{}^*f(a)$ para ser exactos; véase más adelante) es infinitesimal. Es decir, $f$ es continua en $a$ si el gráfico de $f$ "infinitamente cerca" $a$ varía sólo infinitesimalmente respecto a una línea recta (horizontal, de hecho). Esta definición es equivalente a la habitual $\epsilon-\delta$ definición.

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Bien, ¿qué es ese "análisis no estándar" que menciono? Bueno, esto es ciertamente demasiado complicado para un párrafo corto, pero básicamente la idea es esta: empezamos con el universo "real" de los números reales $\mathbb{R}$ y todas las funciones (continuas o no) en $\mathbb{R}$ y consideramos una versión "ampliada" de los reales, llamada $^*\mathbb{R}$ . $^*\mathbb{R}$ es un campo ordenado que contiene los números reales, y mucha más basura además, incluyendo elementos del campo que son menores que cada número real positivo (real); los llamamos infinitesimales . Además, cada función $f$ en $\mathbb{R}$ tiene una versión $^*f$ definido en $^*\mathbb{R}$ lo que concuerda con $f$ en los reales reales. Las declaraciones en el $\epsilon-\delta$ puede traducirse a definiciones (posiblemente) más intuitivas y ágiles en términos de infinitesimales.

Si todo esto te parece sospechoso, es muy razonable; se necesita mucho trabajo para configurar esto y que no se rompa. Hay muchas buenas fuentes con detalles reales; me gusta http://homepages.math.uic.edu/~isaac/NSA%20notas.pdf pero soy parcial (he aprendido de él). Véase especialmente la sección 2, que explica por qué podemos salirnos con la nuestra con este tipo de tonterías :D.

Answer 4

Una idea muy intuitiva sobre la continuidad es que $f $ debe respetar los límites. Con su función, si $x_n\to0$ entonces $f (x_n)\to0$ Así que decimos que $f $ es continua en $0$ .