Pregunta acerca de isotypical componentes

Question

Considere la posibilidad de $V=\bigotimes^3(\mathbb{C}^2)$ $\mathfrak{S}_3$ de representación. Uno de sus isotypical componente es $S^3(\mathbb{C}^2)$, que es un subespacio lineal de tensores simétricos de a $\bigotimes^3(\mathbb{C}^2)$. Desde $\mbox{dim} V=8$, debe haber al menos uno de los otros isotypical componentes. Necesito describir todos los posibles isotypical componentes.

La sugerencia que se le da es: $\mathfrak{S}_3$ contiene el grupo cíclico $C_3$ como un subgrupo normal de índice dos. No entiendo cómo esto puede ser útil.

Cualquier sugerencia se agradece.

Answer 1

El grupo simétrico $\mathfrak{S}_3$ tiene tres representaciones irreducibles (en el carácter no dividiendo $6$). Estos son los triviales de la representación, el signo de la representación, y su $2$-dimensiones de la reflexión de la representación. Como se observa, $S^3(\mathbb{C}^2)$ es el de cuatro dimensiones isotypic componente de $T^3(\mathbb{C}^2)=(\mathbb{C}^2)^{\otimes 3}$ para el trivial de la representación. El signo de la representación no tiene lugar dimensión razones (no hay anti-simétrica $n$-tensores en un espacio vectorial de dimensión menor que $n$), por lo que los cuatro restantes dimensiones de la isotypic componente para la reflexión de la representación.

El uso de la sugerencia, puede obtener esta descomposición explícitamente como sigue: para un tensor $a \otimes b \otimes c$ escribiré $[a \otimes b \otimes c]^j$ por su simetrización en el espacio propio de valor propio $e^{2 \pi i j/3}$ $3$ciclo $(123)$ generación $C$. Claramente, $(123)(a \otimes b \otimes c)=c \otimes a \otimes b$, por lo que $$[a \otimes b \otimes c]^j=a \otimes b \otimes c+e^{-2 \pi i j/3} c \otimes a \otimes b+e^{2 \pi i j /3} b \otimes c \otimes a. $$

Ahora desde $(12) (123) (12)^{-1}=(123)^{-1}$, sabemos a priori que la acción de la $(12)$ $T^3(\mathbb{C}^2)$ va a solucionar el autoespacio $E^0$ para el autovalor $1$ y permutar los subespacios propios $E^1$ $E^2$ para los autovalores $e^{2 \pi i j/3}$$e^{-2 \pi i j/3}$. Escrito $e_1,e_2$ para el estándar de la base de $\mathbb{C}^2$, estos son

$$E^0=\mathbb{C} \{[e_1 \otimes e_1 \otimes e_1]^0, [e_2 \otimes e_2 \otimes e_2]^0, [e_1 \otimes e_1 \otimes e_2]^0, [e_1 \otimes e_2 \otimes e_2]^0 \} $$ $$E^1=\mathbb{C} \{ [e_1 \otimes e_1 \otimes e_2]^1, [e_2 \otimes e_2 \otimes e_1]^1 \} $$ y $$E^2=\mathbb{C} \{ [e_1 \otimes e_1 \otimes e_2]^2, [e_2 \otimes e_2 \otimes e_1]^2 \}. $$

Con nuestra notación, por ejemplo, tenemos $(12)([e_1 \otimes e_1 \otimes e_2]^1)=[e_1 \otimes e_1 \otimes e_2]^2$, de modo que el intervalo de $[e_1 \otimes e_1 \otimes e_2]^1$ $[e_1 \otimes e_1 \otimes e_2]^2$ es una de las dos copias de las dos dimensiones de la reflexión de la representación, el otro ser atravesado por $[e_2 \otimes e_2 \otimes e_1]^1$$[e_2 \otimes e_2 \otimes e_1]^2$. Evidentemente $E^0$ es, precisamente, el espacio de tensores simétricos.