¿Qué hacen los jacobianos intermedios?

Question

En una variedad proyectiva compleja lisa de $\dim X=n$ tenemos $n$ tori complejos asociados a él a través de $J^k(X)=F^kH^{2k-1}(X,\mathbb{C})/H_k(X,\mathbb{Z})$ (asumiendo que tengo todos los índices correctos) llamado $k$ El jacobiano intermedio.

Si $k=1$ tenemos $J^1(X)=H^{1,0}/H_1$ y así $J^1(X)\cong Jac(X)$ es una variedad abeliana (la forma bilineal es una polarización porque tiene que ser definida en cada pieza de la descomposición de Hodge (creo) ) y de hecho es isomorfa como PPAV's al jacobiano de la variedad.

Si $k=n$ tenemos $H^{2n-1,1}/H_{2n-1}$ que también es un PPAV, y es de hecho el Albanés de $X$ .

Sin embargo, los del medio, los "verdaderos" jacobianos intermedios, suelen ser sólo toros complejos. Un ejemplo de aplicación es que Clemens y Griffiths demostraron que los trípticos cúbicos son uniracionales pero no racionales utilizando $J^2(X)$ para $X$ un triplete cúbico.

Entonces, ¿qué información contienen los jacobianos intermedios? Me han dicho que no sabemos mucho al respecto, pero ¿qué se sabe, más allá de Clemens/Griffiths?

Answer 1

Probablemente ya lo sabes, pero sólo para estar seguros: reciben mapas de clase de ciclo de codimensión $k$ ciclos. Más concretamente, si $Z$ es un ciclo en $X$ de codimensión $k$ que es cohomológicamente trivial, entonces da un elemento en $J^k(X)$ . Este mapa, de ciclos cohomológicamente triviales a $J^k(X)$ es un mapa de Abel-Jacobia (generalizado).

Si dejamos que $CH^k(X)$ sea el grupo de Chow de codimensión $k$ ciclos en $X$ , entonces obtenemos una filtración en $CH^k(X)$ , a saber $CH^k(X) \supset \text{ cohomologically trivial cycles} \supset \text{ Albanese trivial cycles}.$ (Albanese trivial significa "tiene imagen trivial en $J^k(X)$ .) Se conjetura que esta filtración puede ampliarse aún más; esto es parte de la serie de conjeturas de Bloch--Beilinson sobre grupos y motivos de Chow.

Por otro lado, si $X$ se define sobre un campo numérico $K$ y sólo miramos a los ciclos definidos sobre $K$ entonces se conjetura que Albanese trivial implica racionalmente trivial (es decir, cualquier ciclo cohomológicamente trivial que también está en el núcleo del mapa a $J^k(X)$ (y se define sobre un campo numérico ) es de hecho racionalmente equivalente a cero). Creo que esta conjetura está muy abierta en este momento.

Answer 2

Recientemente aprendí en una charla de Nick Addington un bello ejemplo clásico en el que los jacobianos intermedios contienen toda la información sobre la variedad. A saber, si consideramos una intersección de dos cuádricas en $\mathbb CP^n$ entonces a dicha variedad podemos asociar una curva hiperelíptica. Para ello consideramos el correspondiente lápiz de cuádricas. Las cuádricas singulares en el lápiz definen un número finito de puntos en $CP^1$ y tomamos la doble cubierta de $CP^1$ con la ramificación en estos puntos. El jacobiano de la curva hiperelíptica es isomorfo al jacobiano intermedio de la intersección de las cuádricas (este es el doctorado de Miles Reid). La consrucción fue considerada por primera vez por Weil. Todo esto está muy bien explicado en la introducción del artículo de Nick http://arxiv.org/abs/0904.1764 . Se puede reconstruir la curva hiperelíptica a partir de su jacobiano y se puede reconstruir la intersección de dos cuádricas a partir de la curva.

Los jacobianos intermedios de la intersección de 3 cuádricas fueron considerados por Turín. Demostró el correspondiente teorema de Torelli: Sobre las intersecciones de las cuádricas. Russ. Math. Surv., 30, 51-105, 1975.