Newton comprobante original de la gravitación para los no-punto-masa de los objetos

Question

Supongamos que tenemos dos cuerpos, uno muy grande (Tierra), y uno muy pequeño (una bala de cañón). Si la bola de cañón está a cierta distancia de la Tierra, para encontrar la fuerza producida por el no a la pelota, tenemos que calcular una integral en tres dimensiones de cómo cada uno de los infinitesimales pedazo de Tierra tira de la bola, es decir,

$$\int_{\Omega}G \frac{m\delta(\mathbf{r})}{||\mathbf{r}||^2}dV,$$

donde $\Omega$ es la región de la gran masa, $\delta$ es la densidad de la gran masa, y $\mathbf{r}$ es la distancia desde la pequeña masa (que vamos a considerar un objeto de punto) a cada punto de la gran masa.

Newton demostró que, a condición de que la gran masa es una esfera perfecta con el uniforme de la densidad, se puede tratar como un punto de masa. Esto no es difícil de hacer con un triple iterada integral.

Newton no sabía acerca de la triple iterada integrales, y de acuerdo a un libro de física que tengo, ideó un ingenioso prueba de ello el uso de una sola integral único. ¿Alguien sabe cómo Newton hizo esto?

Answer 1

Este es el teorema de la Proposición LXX, el Teorema de la XXXI en los Principia. Caliente, considere la posibilidad de la más sencilla a la prueba del teorema anterior, que no del inverso del cuadrado de la fuerza en el interior de una cáscara esférica:

El quid del argumento es que los triángulos IPV y LPK son similares. La masa encerrada en el pequeño pero cerca de revisión de la esfera de HI va como el cuadrado de la distancia de HP, mientras que la masa encerrada en el gran pero-en la medida de parche de la esfera de KL, con el mismo ángulo sólido, va como el cuadrado de la distancia PK. Esta relación de la masa se cancela la distancia-cuadrado de la relación de gobierno a la fuerza de la fuerza, y por lo que la fuerza neta de los dos parches se desvanece.

Para un punto de masa fuera de la cáscara, Newton enfoque es esencialmente el mismo que el enfoque moderno:

Una integral se elimina porque se está pensando en una fina capa esférica en lugar de una esfera sólida. La segunda integral, "como el semi-círculo de AKB gira sobre el diámetro AB," trivial se convierte Newton infinitesimal arcos HOLA y KL en sus anillos.

La tercera integral es sobre todos los anillos en la esfera, más de $0\leq\phi\leq\tau/2$$R-r\leq s\leq R+r$. Este es un poco peludo, incluso con la ventaja de la notación moderna.

Newton truco es considerar la relación entre la fuerza debido a la menor, cerca del anillo de alta y la más grande, más lejos del anillo de KL, definido por el mismo ángulo de visión (en notación moderna, $d\theta$). Si entiendo correctamente argumenta de nuevo, basado en un montón de triángulos semejantes con infinitesimal ángulos, que el más pequeño pero más cerca del anillo y el más grande-pero-más allá del anillo de ejercer la misma fuerza en P. Además, se muestra que la fuerza no depende de la distancia de PF, y por lo tanto no depende del radio de la esfera; el único parámetro de la izquierda es la distancia PS (al cuadrado) entre la partícula y el centro de la esfera. Ya que el argumento no depende del ángulo de HPS, es verdad para todos los anillos, y el teorema queda demostrado.