Para $(a,q) = 1$ escribimos \N- suma_{subpunto{n \leq x \\\N-equiv a \pmod{q}} \mu^2(n) = \frac{1}{varphi(q)} \N - suma_{chi \pmod{q}} \overline{\chi}(a) \sum_{n \leq x} \mu^2(n) \chi(n).\N-[] Obsérvese que $\mu^2(n) \chi(n)$ es una función multiplicativa con $\mu^2(p^k) \chi(p^k)$ igual a $1$ si $k = 0$ , $\chi(p)$ si $k = 1$ y $0$ si $k \geq 2$ . De ello se desprende que para $\Re(s) > 1$ , \ {suma_{n = 1}^{infty} \frac{{mu^2(n) \chi(n)}{n^s} = \prod_p\left(1 + \frac{chi(p)}{p^s}\right) = \prod_p \frac{1 - \chi^2(p) p^{-2s}}{1 - \chi(p) p^{-s}} = \frac{L(s,\chi)}{L(2s,\chi^2)}. \] Así que para $\sigma > 1$ y $x > 1$ un número no entero, la fórmula de inversión de Perron implica que \N - suma_{subpila{n \leq x \\Nn \equiv a \pmod{q}} \mu^2(n) = \frac{1}{varphi(q)} \N - suma_{chi \pmod{q}} \\N-overline{\chi}(a) \frac{1}{2\pi i} \int_{sigma - i\infty}^{sigma + i\infty} \frac{L(s,\chi)}{L(2s,\chi^2)} \frac{x^s}{s}, ds.\f] Podemos mover la línea de integración a la izquierda de la línea $\Re(s) = 1$ , recogiendo un poste en $s = 1$ sólo cuando $\chi$ es el personaje principal. Dado que \N - [\frac{L(s,\chi_0)}{L(2s,\chi_0^2)} = \prod_{p \mid q} \frac{1 - p^{-s}}{1 - p^{-2s}} \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)},\N-] $\zeta(2) = \pi^2/6$ y $\varphi(q) = q \prod_{p \mid q} (1 - p^{-1})$ obtenemos por el teorema del residuo de Cauchy que \ {suma_{subpila{n \leq x \\\\quiv a \pmod{q}} \mu^2(n) = \frac{1}{q} {prod_{p \mid q} \frac{1}{1 - p^{-2}} \frac{6}{pi^2} x + O_q(x^{1 - \delta})\} para algún $\delta > 0$ . (Podemos tomar $\delta < 1/2$ fácilmente; con un poco de trabajo usando regiones libres de cero de $L(s,\chi)$ podemos obtener un término de error de la forma $O_q(\sqrt{x} e^{-c\sqrt{\log x}})$ .)
Como alternativa, he aquí una prueba por métodos más elementales. De nuevo, \N - suma_{substack{{n \leq x \\\N - n \equiv a \pmod{q}} \mu^2(n) = \frac{1}{varphi(q)} \N - suma_{chi \pmod{q}} \overline{\chi}(a) \sum_{n \leq x} \mu^2(n) \chi(n).\N-] Escribimos $\mu^2(n) = \sum_{cd^2 = n} \mu(d)$ e intercambiar el orden de la suma, de modo que obtenemos \[\frac{1}{\varphi(q)} \Nsuma_{chi \pmod{q}} \overline{\chi}(a) \sum_{d \leq \qrt{x}} \mu(d) \chi^2(d) \mum_{c \leq \frac{x}{d^2} \chi(c).\N-El resultado es que] Si $\chi$ es principal, la suma interna es $\frac{\varphi(q)}{q} \frac{x}{d^2} + O_q(1)$ de hecho, el término de error se demuestra fácilmente que es $O(\sqrt{q} \log q)$ . Si $\chi$ es no principal, la suma interna es $O_q(1)$ de hecho, es $O(\sqrt{q} \log q)$ por la desigualdad de Polya-Vinogradov. Así que obtenemos \N-[\frac{x}{q} \sum_{d \leq \sqrt{x}} \frac{mu(d) \chi_0(d)}{d^2} + O\left(\frac{\qrt{q} \log q}{varphi(q)} \suma de los dos tipos de módulos \sum_{d \leq \qrt{x}} 1\ derecho).\N-] El segundo término es $O(\sqrt{xq} \log q)$ . El primer término es igual a \N - [\frac{x}{q} \sum_{d = 1}^{\infty} \frac{mu(d) \chi_0(d)}{d^2} - \frac{x}{q} \frac_{d > \sqrt{x}} \frac{\mu(d) \chi_0(d)}{d^2}.\] El primer término es \frac{x}{q L(2,\chi_0)} = \frac{1}{q} \prod_{p \mid q} \frac{1}{1 - p^{-2}} \frac{6}{pi^2} x,\f] mientras que el segundo término se ve fácilmente que es $O\left(\frac{\sqrt{x}}{q}\right)$ . Así que obtenemos \N - [suma_{subpunto{n \leq x \\\Nn equiv a \pmod{q}} \mu^2(n) = \frac{1}{q} \prod_{p \mid q} \frac{1}{1 - p^{-2}} \frac{6}{pi^2} x + O\left(\sqrt{x q} \log q\right).\f]
