$\wedge,\cap,\times$ y $\vee,\cup,+$ ¿son siempre intercambiables?

Question

Actualización : Debería haber dejado la Aritmética fuera de esta pregunta, la nueva pregunta modificada se publica aquí : $\wedge,\cap$ y $\vee,\cup$ entre la Lógica y la Teoría de Conjuntos siempre intercambiables?

Aunque no he visto esto en ninguna parte declarado, pero tan a menudo intercambiando mentalmente los marcos de la Lógica, la Teoría de Conjuntos y la Aritmética siguiente operación $\wedge,\cap,\times$ y $\vee,\cup,+$ parecen ser siempre intercambiables (¿isomorfos?).

Mi pregunta es $\wedge,\cap,\times$ ¿es lo mismo y sólo se utilizan símbolos diferentes según el marco? la misma pregunta con respecto a $\vee,\cup,+$

PS: En el entorno aritmético obtenemos el caso de $[0, \text{any number other than 0}] \equiv [false , true] $

Por ejemplo las leyes de De Morgan para Conjuntos y Lógica se convierten simplemente en las leyes distributiva y asociativa.

¿Qué ocurre con los casos infinitos? ¿Se rompe este tipo de intuición entre la Aritmética, la Lógica y la Teoría de Conjuntos?

Answer 1

Según lo solicitado; (creo que la pregunta es un poco confusa y difusa tal y como está, pero...)

En teoría de conjuntos, $\cap$ y $\cup$ distribuyen unos sobre otros: $$a\cap(b\cup c) = (a\cap b)\cup (a\cap c)\qquad\text{and}\qquad a\cup(b\cap c) = (a\cup b)\cap (a\cup c).$$

Sin embargo, en aritmética (por la que entiendo la aritmética de Peano o sus extensiones a $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ etc.), mientras que $\times$ distribuye sobre $+$ , $+$ no distribuye sobre $\times$ . Siempre tenemos $a\times(b+c) = (a\times b)+(a\times c)$ pero casi nunca $a+(b\times c) = (a+b)\times(a+c)$ .

Así que $\cap$ y $\cup$ en la teoría de conjuntos tienen propiedades, relativas entre sí, que son diferentes de las propiedades de $\times$ y $+$ en aritmética.

Answer 2

"+" no es como " $\lor$ ". (x+x)=(2*x). Por otra parte, en lógica clásica, (x $\lor$ x)=x. En concreto, (1+1)=2, mientras que (1 $\lor$ 1)=1.

Resulta más útil comparar "∧,∩, min" y "∨,∪, max". Operaciones lógicas y de teoría de conjuntos comportarse se parece más al mínimo de dos números y al máximo de dos números que a otra cosa (y máx y mín son operaciones duales si tenemos (1-x) como complemento de x).