Por qué plenamente característico subgrupo es normal?

Question

Echemos un grupo de $G$. Decimos que el subgrupo $H \leq G $ es totalmente característico si $$\forall \phi \in \mathrm{End} (G) : \phi(H) \subseteq H$$.

Es este el totalmente característico subgrupo normal?

Una primera idea es aplicar el Teorema :

$$\forall g \in G, \forall h \in H :ghg^{-1}\in H. $$ Pero ¿cómo podría esto ayudar? Definitivamente me he atascado.

Actualización: podemos encontrar un subgrupo normal $H\trianglelefteq G$ tal que $H$ no es estrictamente característica? (así que el reverso de la declaración no es válida)

Gracias.

P. S.: me disculpo por no haber ningún otro progreso, pero no sé cómo continuar.

Answer 1

Sugerencia: en el mapa $\phi_g\colon G\to G$, $\phi_g(x)=gxg^{-1}$ es un endomorfismo de $G$ (en realidad un automorphism).

Answer 2

Considere estas:

• Un subgrupo es totalmente característico iff es invariante bajo todos los endomorfismo

• Un subgrupo es normal iff es invariante bajo todos los interiores de automorphism

• Cada interior automorphism es un endomorfismo