Integral de la prueba en la $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1)\ln^2(n+1)}$

Question

Quiero investigar si la siguiente serie es la convergencia o divergencia $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1)\ln^2(n+1)}$

He aplicado la integral de la prueba y llegó a este resultado $\frac{1}{\ln 2}$ y, por tanto, la serie es convergente, pero no estoy seguro del resultado. Alguna ayuda ??

Answer 1

De hecho, la prueba se aplica correctamente y la serie converge.

De hecho, se puede demostrar que la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1)\ln^\alpha (n+1)}$ converge si y sólo si $\alpha>1$.

Un paso más allá, la serie $\sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n\ln n\ln^a(\ln n)}$ converge también si y sólo si $\alpha>1$. Etc.