Si $m,n \in \mathbb{N}$ $m> n$ $(a^{2^{n}}+1)|(a^{2^{m}}-1)$

Question

Posibles Duplicados:
Cómo mostrar $a^{2^n}+1 \mid a^{2^m}-1$?

Estoy tratando de resolver la siguiente pregunta: Si $m,n \in \mathbb{N}$$m> n$$(a^{2^{n}}+1)|(a^{2^{m}}-1)$, pero no lo conseguí.

Agradecería cualquier ayuda para resolver esta cuestión.

Answer 1

Podemos arreglar $n$, y muestra el resultado por inducción en $m$. Si $m=n+1$ $$(a^{2^n}+1)(a^{2^n}-1)=a^{2^n+2^n}-1=a^{2^m}-1,$$ por lo $a^{2^n}+1\mid a^{2^m}-1$ y si es cierto para un $m$ $$a^{2^{m+1}}-1=(a^{2^m})^2-1=(a^{2^m}-1)(a^{2^m}+1)$$ y hemos terminado, ya podemos escribir $a^{2^m}-1=k(a^{2^n}+1)$ para un entero $k$ (por lo tanto,$a^{2^{m+1}}-1=k(a^{2^m}+1)(a^{2^n}+1)$.

"De otra manera", es mostrar que para $j\geq 1$: $$a^{2^{m+j}}=(a^{2^m}-1)\prod_{k=0}^{j-1}(a^{2^{m+k}}+1).$$

Answer 2

Tenga en cuenta que :

$$\begin{align} a^{2^m}-1=(a^{2^{m-1}}-1)(a^{2^{m-1}}+1) \\ a^{2^{m-1}}-1=(a^{2^{m-2}}-1)(a^{2^{m-2}}+1) \\ \vdots \\ \vdots \\ a^{2^{n+1}}-1=(a^{2^{n}}-1)(a^{2^{n}}+1) \end{align}$$

Answer 3

Deje $m=n+b$ donde $b>0$.

$$(a^{2^m}-1)=(a^{2^{n+b}}-1)=({a^{2^n}})^{2^b}-1 = c^{2^b} - 1 \text{ if } c=a^{2^n},$$ and $$(a^{2^n}+1)=c+1$$ Claramente, $$c^{2^b} - 1 \text{ is divisible by } c^2-1=(c+1)(c-1) \text{ for } b\geq 1$$