GCD a LCM de números múltiples

Question

Si conozco el MCD de 20 números, y conozco los 20 números, ¿existe una fórmula tal que introduzca los 20 números y su MCD, y que dé como resultado su MCL? Sé que $$\frac{\left| a\cdot b\right|}{\gcd(a,b)} = \text{lcm}(a,b).$$ Así que es $$\frac{\left| a\cdot b\cdot c\cdot d\cdot e\cdot f\right|}{\gcd(a,b,c,d,e,f)}?$$ Si no es así, ¿qué es?

Answer 1

No puede haber una fórmula que calcule $\text{lcm}(a,b,c)$ utilizando sólo los valores de $abc$ y $\gcd(a,b,c)$ como entrada: eso es porque $(a,b,c) = (1,2,2)$ y $(a,b,c) = (1,1,4)$ ambos tienen $abc=4$ , $\gcd(a,b,c)=1$ pero no tienen el mismo Icm.

Sin embargo, existe una generalización directa de la $2$ -fórmula variable. Por ejemplo, $$\text{lcm}(a,b,c,d) = \frac{abcd}{\gcd(abc,abd,acd,bcd)}.$$

El gcd correcto a tomar no es de los términos individuales $a,b,c,d$ pero el productos de todos los términos complementarios (que tiene el mismo aspecto en el caso de dos variables).

Answer 2

Como se ha dicho, no se generaliza así. Pero sí existen generalizaciones. Por ejemplo, utilizando la notación estándar gcd $\rm\ (x,y,\ldots)\, :=\, gcd(x,y,\ldots),\:$ tenemos

Teorema $\rm\ \ lcm(a,b,c)\, =\, \dfrac{abc}{(bc,ca,ab)}$

$\!\begin{align}{\bf Proof}\qquad\qquad\rm\ a,b,c&\mid\rm\ n\\ \iff\quad\rm abc&\mid \rm\,\ nbc,nca,nab\\ \iff\quad\rm abc&\mid \rm (nbc,nca,nab)\, =\, n(bc,ca,ab)\\ \iff\rm \ \dfrac{abc}{(bc,ca,ab)} &\:\Bigg| \rm\,\ n\end{align}$

Por lo tanto, la igualdad que se reclama se deduce por la Definición (universal) de lcm. $\ \ $ QED

Nota: $\ $ La penúltima equivalencia de la prueba utiliza dicha definición (universal) de gcd, seguida de la ley distributiva gcd. Una prueba análoga funciona para cualquier número de argumentos.

Answer 3

$$\operatorname{lcm}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{gcd}(a,b)};$$ $$\operatorname{lcm}(a,b,c)=\frac{a\cdot b\cdot c\cdot \operatorname{gcd}(a,b,c)}{\operatorname{gcd}(a,b)\cdot \operatorname{gcd}(a,c)\cdot \operatorname{gcd}(b,c)};$$ $$\operatorname{lcm}(a,b,c,d)=\frac{a\cdot b\cdot c\cdot d\cdot\operatorname{gcd}(a,b,c)\cdot\operatorname{gcd}(a,b,d)\cdot\operatorname{gcd}(a,c,d)\cdot\operatorname{gcd}(b,c,d)}{\operatorname{gcd}(a,b)\cdot\operatorname{gcd}(a,c)\cdot\operatorname{gcd}(a,d)\cdot\operatorname{gcd}(b,c)\cdot\operatorname{gcd}(b,d)\cdot\operatorname{gcd}(c,d)\cdot\operatorname{gcd}(a,b,c,d)};$$ etc. Esto se debe a que $$\max(a,b)=a+b-\min(a,b);$$ $$\max(a,b,c)=a+b+c-\min(a,b)-\min(a,c)-\min(b,c)+\min(a,b,c);$$ $$\max(a,b,c,d)=a+b+c+d-\min(a,b)-\min(a,c)-\min(a,d)-\min(b,c)-\min(b,d)-\min(c,d)+\min(a,b,c)+\min(a,b,d)+\min(a,c,d)+\min(b,c,d)-\min(a,b,c,d);$$ etc. Este es el principio de "entrada y salida", también conocido como "el principio de inclusión y exclusión".

Answer 4

Ciertamente no funciona así. Considere que $\gcd(1, 2, 2) = 1$ , $\text{lcm}(1, 2, 2) = 2$ y $1 \times 2 \times 2 = 4$ .

Una buena manera de pensar en esto es considerar un número natural $n$ como un vector que tiene $x$ para $i$ Si el componente $x$ es la mayor potencia de $i$ primo, dividiendo $n$ . Por ejemplo, $50 = 2\times 5^2$ sería $(1, 0, 2, 0, 0 \dots)$ . Entonces $\gcd$ es un componente $\min$ , $\text{lcm}$ es un componente $\max$ y $\times$ es un componente $+$ . Sucede que para dos números, $\min(a, b) + \max(a, b) = a+b$ . No ocurre lo mismo con tres o más números.

Sin embargo, utilizando la misma interpretación, se pueden construir muchas otras fórmulas similares. Por ejemplo, $\text{lcm}(a, b, c, \dots) = \text{lcm}(a, \text{lcm}(b, \text{lcm}(c, \dots)))$ .

Answer 5

Si se pregunta si la identidad $\dfrac{|a_1a_2\cdots a_n|}{\gcd(a_1,a_2,\ldots,a_n)}=\text{lcm}(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ es cierto para $n>2$ entonces la respuesta es no.
Por ejemplo $n=3, a_1=2, a_2=4,a_3=3$ .