La convergencia en $L^2(\mathbb{R}_+)$

Question

Yo estoy luchando con la siguiente pregunta:

Deje $f \in L^2(\mathbb{R}_+)$ y deje $r > 0$.

Mostrar que $\sum \limits_{n =0 }^{\infty} \frac{1}{r} \int_{[rn, r(n+1))} f(t)dt\textbf{1}_{[rn, r(n+1))}$ converge a$f$$L^2(\mathbb{R}_+)$$r \to 0^+$. Símbolo $\textbf{1}_{[rn, r(n+1))}$ representa un indicador de la función en $[rn, r(n+1))$.

Yo estaba pensando en empezar con $f \in C_0(\mathbb{R}_+)$ - funciones continuas con soporte compacto que son densos en $L^2(\mathbb{R}_+)$, pero todavía no puedo mostrar.

Gracias por todas las sugerencias o respuestas.

Answer 1

Es una buena idea comenzar con $f \in C_0(\mathbb{R}_+)$. Así que vamos a $f \in C_0(\mathbb{R}_+)$ y

$$\begin{align} f_r(x) &:= \sum_{n \geq 0} \frac{1}{r} \cdot 1_{[r \cdot n, r \cdot (n+1))}(x) \cdot \int_{[r \cdot n, r \cdot (n+1))} f(t) \, dt \end{align}$$

Desde $$f(x) = \sum_{n \geq 0} f(x) \cdot 1_{[r \cdot n, r \cdot (n+1))}(x)$$ tenemos

$$\begin{align} |f_r(x)-f(x)|^2 &= \left| \sum_{n \geq 0} \frac{1}{r} \cdot 1_{[r \cdot n, r \cdot (n+1))}(x) \cdot \int_{[r \cdot n, r \cdot (n+1))} (f(t)-f(x)) \, dt \right|^2 \\ &\stackrel{\ast}{=} \sum_{n \geq 0} 1_{[r \cdot n, r \cdot (n+1))}(x) \cdot \frac{1}{r^2} \cdot \underbrace{\left( \int_{[r \cdot n, r \cdot (n+1))} (f(t)-f(x)) \, dt \right)^2}_{\leq \int_{[r \cdot n, r \cdot (n+1))} (f(t)-f(x))^2 \, dt} \end{align}$$ (para $(\ast)$: Desde los tiempos parciales $[r \cdot n, r \cdot (n+1))$ son distintos, el cuadrado da una suma (y no el doble de la suma).) Tenga en cuenta que fija $x$ no es exactamente un sumando en la última ecuación no es igual a cero.

Deje $\varepsilon>0$. Desde $f$ es uniformemente continua existe $\delta>0$ tal que $$|f(t)-f(x)| \leq \varepsilon$$ for all $|x-t| \leq \delta$. Thus $$\begin{align} \int |f_r(x)-f(x)|^2 \, dx &\leq \int \sum_{n \geq 0} 1_{[r \cdot n, r \cdot (n+1))}(x) \cdot \frac{\varepsilon^2}{r} \, dx \leq \varepsilon^2 \end{align}$$ for $r \leq \delta$.