¿Se puede derivar las transformaciones galileanas a partir de las ecuaciones de movimiento del oscilador armónico y el principio de relatividad?

Question

Me encontré confundido con algunos conceptos físicos muy básicos y espero ser iluminado con tu ayuda.

Inicialmente mi confusión surgió en conexión con las ecuaciones de Maxwell y las transformaciones de Lorentz. A menudo se dice que las ecuaciones de Maxwell no son invariantes bajo las transformaciones de Galileo. Sin embargo, según entiendo, se asume implícitamente que no solo las coordenadas se transforman según la ley de Galileo sino que también los campos eléctricos y magnéticos se transforman como vectores con respecto a las transformaciones de Galileo. Mi pregunta es:

1) Al transformar ecuaciones de un marco a otro, ¿se deben cambiar tanto las coordenadas como los campos ? ¿No existen transformaciones de campo que junto con las transformaciones Galileanas preserven la forma de las ecuaciones de Maxwell?

Más generalmente, a menudo se escucha que algunas ecuaciones son relativistas/no relativistas basadas en su comportamiento bajo las correspondientes transformaciones de coordenadas. Después de reflexionar un poco, se me ocurrió otra pregunta:

2) ¿Se puede derivar transformaciones de coordenadas a partir del principio de relatividad y de la forma conocida de las ecuaciones de movimiento?

No veo una manera clara de hacerlo. A continuación, presento mis reflexiones sobre el ejemplo del oscilador armónico en la mecánica newtoniana.

En la física no relativista, el oscilador armónico cumple la siguiente ecuación de movimiento $$\frac{d^2x(t)}{dt^2}=-\omega^2(x(t)-x_0(t))$$

donde $x_0(t)$ es la coordenada de la posición de equilibrio que generalmente puede cambiar con el tiempo. Supongamos que el oscilador se mueve a lo largo del eje $x$ a una velocidad constante $v$. Entonces tenemos $$x_0(t)=x_0(0)+vt$$

Ahora, consideremos otro marco de referencia que se desplaza con el oscilador. Denotemos las coordenadas allí como $x',t'$. Deben ser algunas funciones de $x,t$ $$x'=X(x,t),\quad t'=T(x,t)$$. En este marco de referencia, el oscilador está en reposo y por lo tanto la siguiente ecuación debe cumplirse $$\frac{d^2x'(t')}{dt'^2}=-\omega'(x'(t')-x_0')$$

La forma de estas ecuaciones se deriva de un principio de relatividad. Además, se debe tener $\omega'=\omega$ y sin pérdida de generalidad $x_0'=x_0(0)$.

Ahora la pregunta es para qué funciones $X(x,t), T(x,t)$ la ecuación en el marco de referencia 'móvil' se cumple siempre que $x(t)$ resuelva la ecuación en el marco de referencia 'en reposo'? Si se denota $$\hat{X}(t)=X(x(t),t),\quad \hat{T}(t)=T(x(t),t) $$ entonces se debe tener $$\frac{\hat{X}''(t)\hat{T}'(t)-\hat{X}'(t)\hat{T}''(t)}{\hat{T}'(t)^3}=-\omega^2(\hat{X}(t)-x_0(0))$$

Es fácil ver que con la elección Galileana de $X, T$ $$X(x,t)=x-vt,\quad T(x,t)=t\\\hat{X}(t)=x(t)-t,\quad \hat{T}(t)=t$$ la ecuación anterior se cumple. Pero apenas puedo imaginar que las transformaciones Galileanas sean la única solución a esta ecuación (aunque después de algunos intentos directos no encontré otras, pero creo que debería ser posible).

Entonces esto me lleva a mi tercera pregunta, que es una versión específica de la segunda. También considero esto como un ejemplo simple para las ecuaciones de Maxwell y las transformaciones de Lorentz.

3) ¿Se puede derivar las transformaciones de coordenadas Galileanas a partir del principio de relatividad y las ecuaciones de movimiento para el oscilador armónico? Si es posible, ¿cómo? Si no, ¿qué ingredientes se deben agregar? ¿O quizás no hay ninguna derivación basada en las ecuaciones de movimiento disponible en absoluto?

¡Gracias por tomarte interés! ¡Cualquier ayuda es muy apreciada!

Answer 1

Los supuestos básicos sobre la estructura espacio-temporal en la mecánica clásica son:

(1) Los intervalos de tiempo entre eventos son absolutos.

(2) Los intervalos de espacio entre eventos contemporáneos son absolutos.

Podemos referirnos a estas dos propiedades como la "estructura espacio-temporal galileana". En el primer capítulo del "Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica" de Arnold, puedes encontrar una formulación matemática de la estructura espacio-temporal, y uno de los problemas es demostrar que

Todas las transformaciones afines del espacio-tiempo que preservan los intervalos de tiempo y las distancias entre eventos contemporáneos son composiciones de rotaciones, traslaciones y movimientos uniformes.

El principio de relatividad por sí solo permite una clase mucho más amplia de transformaciones (por ejemplo, permite las transformaciones de Lorentz).

Entonces creo que tus segundas y terceras preguntas pueden reformularse de la siguiente manera:

¿Se puede obtener la estructura espacio-temporal galileana a partir de ecuaciones de movimiento conocidas (y el principio de relatividad)?

No puedo ser categórico en este punto, pero mi intuición dice que la respuesta es no, sin al menos algunas otras suposiciones sólidas.

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Aquí tienes una simple derivación de las transformaciones galileanas. Sea $(t,\mathbf r)$, $(t',\mathbf r'$), denotar las coordenadas de un evento en dos marcos de referencia (no necesariamente marcos inerciales). En primer lugar, la invarianza de los intervalos de tiempo entre eventos implica que $$t'=t+t_0,$$ para alguna constante $t_0$.

Ahora, la invarianza de los intervalos de espacio entre eventos simultáneos implica que, para un $t$ fijo, $\mathbf r \mapsto \mathbf r'$ es una isometría de $\mathbb R ^3$. La forma más general de dicha isometría es: $$\mathbf r'= \mathbf s+G\mathbf r,$$ donde $GG^T=I$ y tanto $\mathbf s$ como $G$ pueden depender del tiempo.

Para establecer que $\dot {\mathbf s}=0$ y $\dot G=0$ si los dos marcos son inerciales, notamos que, por el principio de relatividad, la ecuación: $$\ddot {\mathbf r}=0$$ para un cuerpo aislado debe ser covariante; un cálculo directo muestra que esto solo es posible si se satisfacen las condiciones anteriores.