La combinatoria de los coeficientes al cuadrado

Question

Si $C_0,C_1,C_2,...,C_n$ son la combinatoria de los coeficientes en la expansión de $(1+x)^n$ demostrar que:

$$1C_0^2+3C_1^2+5C_3^2+...+(2n+1)C_n^2=\dfrac{(n+1)(2n)!}{n!n!}=(n+1)\binom {2n}n$$

Yo soy capaz de calcular la adición lineal, pero no de los cuadrados de los coeficientes.

Gracias!

Answer 1

$$\sum_{k=0}^{n}(2k+1)\binom{n}{k}^2=\sum_{k=0}^{n}(2k+1)\binom{n}{k}\binom{n}{n-k}=[x^k]\left[(1+x)^n\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(2k+1)x^k\right] $$ pero mediante el establecimiento $x=z^2$ tenemos: $$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(2k+1)x^k=\frac{d}{dz}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}z^{2k+1}=(1+x)^{n-1}(1+(2n+1)x)$$ por lo tanto: $$\sum_{k=0}^{n}(2k+1)\binom{n}{k}^2= [x^n]\left[(1+x)^{2n}+2nx(1+x)^{2n-1}\right]=\binom{2n}{n}+2n\binom{2n-1}{n}$$ y simplificando: $$\sum_{k=0}^{n}(2k+1)\binom{n}{k}^2=(n+1)\binom{2n}{n} $$ como quería.

Answer 2

$$\begin{align*} \sum_{k=0}^n(2k+1)\binom{n}k^2&=2\sum_{k=0}^nk\binom{n}k\binom{n}{n-k}+\sum_{k=0}^n\binom{n}k\binom{n}{n-k}\\ &\overset{(1)}=2n\sum_{k=0}^n\binom{n-1}{k-1}\binom{n}{n-k}+\binom{2n}n\\ &=2n\sum_{k=0}^n\binom{n-1}{k-1}\binom{n}{n-k}+\binom{2n}n\\ &\overset{(2)}=2n\binom{2n-1}{n-1}+\binom{2n}n\\ &\overset{(3)}=n\binom{2n}n+\binom{2n}n\\ &=(n+1)\binom{2n}n \end{align*}$$

$(1)$ utiliza la identidad $k\binom{n}k=n\binom{n-1}{k-1}$ y Vandermonde de la identidad; $(2)$ es otra aplicación de Vandermonde de la identidad, y $(3)$ es otra aplicación de la $k\binom{n}k=n\binom{n-1}{k-1}$.

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \sum_{k = 0}^{n}\pars{2k + 1}{n \choose k}^{2} & = {1 \over 2}\sum_{k = 0}^{n}\braces{\pars{2k + 1}{n \choose k}^{2} + \bracks{2\pars{n - k} + 1}{n \choose n - k}^{2}} \\[5mm] & = \pars{n + 1}\sum_{k = 0}^{n}{n \choose k}^{2} = \bbx{\ds{\pars{n + 1}{2n \choose n}}} \end{align}

$\ds{\sum_{k = 0}^{n}{n \choose k}^{2} = {2n \choose n}}$ es un conocido de la identidad. Tenga en cuenta que $\ds{\left\lbrace \begin{array}{rcl} \ds{n \choose k} & \ds{=} & \ds{n \choose n - k} \\[2mm] \ds{\sum_{k = 0}^{n}a_{k}} & \ds{=} & \ds{\sum_{k = 0}^{n}a_{n - k}} \end{array}\right.}$

Answer 4

Tenga en cuenta que $C_r=\binom nr$.

Es bien conocido el resultado de que $\sum_{r=0}^n\binom nr^2=\binom {2n}n$, lo que puede ser comprobado fácilmente utilizando el Vandermonde de identidad.

Incluso para $n$:

El número de elementos es impar, el índice de $0$ a $(\frac n2-1)$, $n$, y de $(\frac n2+1)$ $n$

Desde $\binom nr=\binom n{n-r}$,$\sum_{r=0}^{\frac n2-1}\binom nr^2=\frac 12 \binom {2n}n$.

La suma en la pregunta puede ser escrito como

$$\begin{aligned} &\begin{array}r 1\binom n0^2 &+3\binom n1 ^2 &+\cdots &+(n-1)\binom n{\frac n2-1}^2\\ & & & & +(n+1) \binom n{\frac n2} ^2\\ +(2n+1)\binom nn^2 &+(2n-1)\binom n{n-1}^2 &+\cdots &+(n+3)\binom n{\frac n2+1}^2 \\ =(2n+2)\binom n0^2 &+(2n+2)\binom n1^2 &+\cdots &+(2n+2)\binom n{\frac n2-1}^2 &+(n+1)\binom n{\frac n2}^2 \\ \end{de la matriz}\\ Y=(2n+2)\cdot \displaystyle\sum_{i=0}^{\frac n2-1}\binom nr^2+(n+1)\binom n{\frac n2}\\ Y=(2n+2)\cdot \frac 12 \left[\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\binom nr^2-\binom n{\frac n2}\right]+(n+1)\binom n{\frac n2}\\ &=(n+1)\left[\binom {2n}n-\binom n{\frac n2}\right]+(n+1)\binom n{\frac n2}\\ &=\color{red}{(n+1)\binom {2n}n} \end{aligned}$$

__

Por extraño $n$:

El número de elementos es par, el índice de$0$$\frac {n-1}2$, y de $\frac {n+1}2$ $n$

Desde $\binom nr=\binom n{n-r}$,$\sum_{r=0}^\frac {n-1}2 \binom nr^2=\frac 12 \binom {2n}n$.

La suma en la pregunta puede ser escrito como

$$\begin{aligned} &\begin{array}r 1\binom n0^2 &+3\binom n1 ^2 &+\cdots &+n\binom n{\frac {n-1}2}^2\\ +(2n+1)\binom nn^2 &+(2n-1)\binom n{n-1}^2 &+\cdots &+(n+2)\binom n{\frac {n+1}2}^2 \\ =(2n+2)\binom n0^2 &+(2n+2)\binom n1^2 &+\cdots &+(2n+2)\binom n{\frac{n-1}2}^2\\ \end{de la matriz}\\ Y=(2n+2)\displaystyle\sum_{i=0}^{\frac {n-1}2}\binom nr^2\\ Y=(2n+2)\cdot \frac 12\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\binom nr^2\\ Y=(2n+2)\cdot \frac 12 \binom {2n}n\\ &=\color{red}{(n+1)\binom {2n}n} \end{aligned}$$