Es este Teorema equivalente al Axioma de Elección?

Question

A partir de su respuesta, sé que no son equivalentes y traté de darle una prueba de que el CA $\implies$ este Teorema y que este Teorema $\implies$ CA.

Puede usted por favor compruebe la veracidad de mis pruebas?

Gracias por sus respuestas tanto!

Axioma de Elección:

Deje $\mathcal{F}$ es una colección no vacía de conjuntos disjuntos. Entonces existe una función de elección $f:\mathcal{F} \to \bigcup \mathcal{F}$ tal que $f(A) \in A$ todos los $A \in \mathcal{F}$.

El Teorema:

Para cualquier conjunto a $\mathcal{F}$, existe una función de $g:\bigcup \mathcal{F} \to \mathcal{F}$ tal que $a \in g(a)$ todos los $a \in \bigcup \mathcal{F}$.

La prueba de que AC implica este Teorema:

Deje $R(a)=\{A \in \mathcal{F}\mid a \in A\}$$W=\{\{a\} \times R(a)\mid a \in \bigcup \mathcal{F}\}$.

A continuación, $W$ es una colección no vacía de conjuntos disjuntos. Aplicar AC, tenemos una función de $f:W \to \bigcup W$ tal que $f(\{a\} \times R(a)) \in \{a\} \times R(a) \implies f(\{a\} \times R(a))=(a, A_a)$ donde $a \in A_a \in R(a)$.

Así que el conjunto $\{(a,A_a) \mid a \in \bigcup \mathcal{F}\}$ o, equivalentemente,
$\{f(\{a\} \times R(a)) \mid a \in \bigcup \mathcal{F}\}$ representa la función deseada $g$.

La prueba de que este Teorema implica el Axioma de Elección - Enfoque 1:

Deje $W=\{\{\mathcal{F} \times A,a\} \mid a \in A \in \mathcal{F}\}$.

1. $\mathcal{F} \times A \neq b$ todos los $A \in \mathcal{F}$$b\in \bigcup \mathcal{F}$.

Suponga que $\mathcal{F} \times A = b$ donde$b \in B \in \mathcal{F}$,$a \in A$. A continuación,$b \in B \in \{B\} \in \{\{B\},\{B,a\}\}=(B,a)\in \mathcal{F} \times A=b$. Esto contradice a Axioma de Regularidad.

2. Generamos la función $f$ como sigue:

Aplicar este Teorema, existe una función de $g:\bigcup W \to W$ tal que $a \in g(a) \in W$.

$f:\mathcal{F} \to \bigcup \mathcal{F}$ tal que $f(A)=g(\mathcal{F} \times A) \setminus \{\mathcal{F} \times A\}$ todos los $A \in \mathcal{F}$.

La prueba de que este Teorema implica el Axioma de Elección - Enfoque 2:

Deje $R(x)=\{A \in \mathcal{F} \mid x \in A\} \cup \{\mathcal{F} \times \{x\}\}$$W=\{R(x) \mid\ x \in \bigcup \mathcal{F}\}$.

1. $\mathcal{F} \times \{x\} \neq A$ todos los $A \in \mathcal{F}$$x \in \bigcup \mathcal{F}$.

Suponga que $\mathcal{F} \times \{x\} = A$ donde$A \in \mathcal{F}$$x \in \bigcup \mathcal{F}$. A continuación,$A \in \{A\} \in (A,x) \in \mathcal{F} \times \{x\}=A$. Esto contradice a Axioma de Regularidad.

Por lo tanto $\mathcal{F} \times \{x\}$ es un distintivo indicador de $R(x)$. Como resultado, $R(a) \neq R(b)$ siempre $a \neq b$, o, equivalentemente, $R(x)$ es inyectiva para todo $x \in \bigcup \mathcal{F}$.

2. Generamos la función $f$ como sigue:

Aplicar este Teorema, existe una función de $g:\bigcup W \to W$ tal que $x \in g(x) \in W$. Está claro que $A \in W$ todos los $A \in \mathcal{F}$.

Deje $f(A)=R^{-1}(g(A))$ todos los $A \in \mathcal{F}$.

Answer 1

Bien. Sí. Debido a que el axioma de elección (para las familias) es equivalente a la "elección de las familias de pares distintos conjuntos".

La prueba parece estar bien.

Answer 2

Sí, el principio que has escrito es equivalente a la CA.

Supongamos que tengo una familia $\mathcal{F}$ de vacío discontinuo conjuntos para que quiero construir una función de elección. Corregir algunos $x$ tal que $\langle x, a\rangle\not\in\bigcup\mathcal{F}$ cualquier $a\in\bigcup\mathcal{F}$. Para $a\in\bigcup\mathcal{F}$, vamos a $S_a=\{f\in\mathcal{F}: a\in f\}\cup\{\langle x, a\rangle\}$. Tenga en cuenta que el segundo término se entiende aquí por $S_a\not=S_b$ siempre $a\not=b$.

Ahora consideremos el conjunto $X=\bigcup_{a\in \bigcup\mathcal{F}}S_a$, y aplicar el principio para obtener un mapa de $g$ el envío de cada elemento de $X$ algunos $S_a$ que lo contienen. Ahora argumentan que:

• Cada una de las $f\in\mathcal{F}$$X$.

• Para cada una de las $f\in\mathcal{F}$ no es exactamente una $a$ tal que $g(f)=S_a$. Esto es sólo la distinción de la $S_a$s, que nos trajo artificialmente por encima.

Deje $h(f)$ denotar que la única $a$. A continuación, $h$ es una función de elección para $\mathcal{F}$.