Pequeñas potencias de números pequeños: ¿Existe realmente un patrón o es que estoy acostumbrado a buscarlos?

Question

Probablemente se trate de una coincidencia, pero siempre me ha parecido interesante y he querido poner a prueba si, después de todo, hay algo de verdad en ello.

Existen estas colecciones de potencias, y en un caso una suma de potencias de dos formas diferentes, que tienen dígitos similares entre sí.

$$3^7 = 2187$$ $$6^4 = 1296$$ $$12^3 = 1728$$ $$13^3 = 2197$$ $$1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3 = 1729$$ $$3^6 = 729$$

(Supongo que las dos últimas son inevitables en cualquier radix).

También tenemos

$$2^{10} = 1024$$ $$7^4 = 2401$$

y

$$2^8 = 256$$ $$5^4 = 625$$ $$24^2 = 576$$

Veo que la siguiente clase es inevitable en cualquier radix > 4.

$$12^2 = 144$$ $$21^2 = 441$$

$$13^2 = 169$$ $$31^2 = 961$$

¿Existe un mecanismo general en juego, o sólo estoy encontrando patrones estadísticamente insignificantes?

Answer 1

Esto es realmente sólo una pequeña parte de una respuesta, pero...

Esta es una pregunta muy interesante. Mi primera reacción es pensar que no puede ser una coincidencia, pero no estoy seguro.

Ahora, una explicación estadística parece más o menos plausible. En su mayor parte, estás mirando los números hasta $13$ elevado a números de hasta $10$ Así que hay alrededor de $12 \cdot 9 = 108$ poderes "interesantes". Mientras tanto, hay $286$ formas de elegir $4$ dígitos, permitiéndose los duplicados pero sin tener en cuenta el orden. Así que no debería ser demasiado raro que las potencias sean anagramas.

Aun así, esta "familia" de primeros poderes parece bastante convincente:

$5^2 = 25 = 24 + 1$

$7^4 = 2401 = 24 \cdot 10^2 + 1$

$2^{10} = 1024 = 24 + 10^3$

Podemos examinar las relaciones entre estas ecuaciones un poco más claramente emparejándolas, multiplicando por $10^2$ según sea necesario, y restarlos para cancelar el $24$ s:

$2^2 \cdot 5^4 - 7^4 = 10^2 - 1$

$2^{10} - 5^2 = 10^3 - 1$

$2^{12} \cdot 5^2 - 7^4 = 10^5 - 1$

Por casualidad o no, todas las potencias del lado izquierdo son pares, así que podemos aplicar la fórmula de la diferencia de cuadrados. También podemos factorizar los lados de la derecha, por supuesto. Estas ecuaciones se factorizan como:

$(2 \cdot 5^2 - 7^2) (2 \cdot 5^2 + 7^2) = (10 - 1) (10 + 1)$

$(2^5 - 5) (2^5 + 5) = (10 - 1) (10^2 + 10 + 1)$

$(2^6 \cdot 5 - 7^2) (2^6 \cdot 5 + 7^2) = (10 - 1) (10^4 + 10^3 + 10^2 + 10 + 1)$

Entonces, si sustituimos cada factor por su propia factorización prima, terminamos con:

$(1) (3^2 \cdot 11) = (3^2) (11)$

$(3^3) (37) = (3^2) (3 \cdot 37)$

$(271) (3^2 \cdot 41) = (3^2) (41 \cdot 271)$

Pero definitivamente esto no parece una explicación convincente de nada. Empezamos con algunas ecuaciones bastante interesantes, como $2^{10} - 5^2 = 10^3 - 1$ y los "explicaba" factorizándolos progresivamente, pero no se explica por qué los factores primos de la izquierda acabaron coincidiendo con los factores primos de la derecha.