Problemas sobre la ortogonalidad y de tangencia en un espacio de 3 dimensiones.

Question

1. Encontrar el conjunto de todos los puntos de $(a,b,c)$ en el 3-espacio para que las dos esferas $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=1$ $x^2+y^2+z^2=1$ se cruzan ortogonalmente.

2. Un cilindro cuya ecuación es $y=f(x)$ es tangente a la superficie de la $z^2+2xz+y=0$.

Para el primero, en el conjunto de puntos, $\nabla f \cdot \nabla g$ debe $0$ donde $f$ $g$ corresponden a las dos primeras esferas. Haciendo esto, llego $4x(x-a)+4y(y-b)+4z(z-c)=0$, lo que le da la función de una esfera centrada en $(a/2,b/2,c/2)$. Sin embargo, la respuesta de este problema es una esfera con centro en el origen y radio de $\sqrt{2}$.

Para el segundo, he intentado resolver mediante el establecimiento de la primera ecuación como $F(x,y,z)=f(x)-y$ y la segunda como $G(x,y,z)=z^2+2xz+y$. Pero yo no sabía cómo continuar a partir de aquí.

Supongo que no soy bueno en la resolución de este tipo de problemas geométricos todavía. Les agradecería mucho cualquier ayuda.

Answer 1

Para (1), su ecuación es correcta. Usted también debe combinar esta ecuación con la de dos ecuación original. Los puntos se encuentran en la intersección. Así $$4x(x-a)+4y(y-b)+4z(z-c)=0\implies 4x^2-4ax+4y^2-4by+4z^2-4cz=0$$ La combinación de este con $x^2+y^2+z^2=1$ $$4-4zx-4by-4cz=0$$ Ahora, la primera ecuación es $x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2+z^2-2cz+c^2=1$. Combinando esto con la ecuación 2 da $-2ax-2by-2cz=-a^2-b^2-c^2$. Esta y la anterior ecuación se te da lo que quieres.

Para (2), el gradiente de vectores de las dos superficies son iguales en el punto de tangencia $$(-f'(x),1,0)=(2z,1,2z+2x)$$ A partir de aquí, a ver si usted puede encontrar $f(x)$.

Answer 2

Sugerencia para la pregunta 2.

El cilindro tiene una ecuación paramétrica $(x,z) \mapsto (x, f(x), z)$. La segunda superficie está definida por $(x,y) \mapsto (x,y,z(x,y))$ donde $z(x,y)$ está definido por la ecuación implícita que usted proporcione.

Basado en esto, usted puede calcular los vectores normales de las dos superficies en un punto de intersección. Los dos vectores debe ser dependiente.

(Jean-Pierre http://www.mathcounterexamples.net)