Prueba combinatoria de $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$

Question

¿Cómo puedo demostrar esto combinatoriamente?

$$\displaystyle \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$$

Answer 1

Elegir el $k$ elementos que desea de $n$ posibilidades equivale a lo mismo que elegir el $n-k$ elementos que no quieren salir de $n$ posibilidades.

Answer 2

Si $X$ es un conjunto, denotamos su cardinalidad con $\# X$ . Si $A$ es un conjunto con $\# A = n$ y $0 \leq k \leq n$ entonces existe un mapeo biyectivo entre los dos conjuntos siguientes: $$ U = \{ X \subseteq A \mid \ \#X = k \}, $$ $$ V = \{ Y \subseteq A \mid \ \#Y = n-k \}; $$ el mapa es $X \mapsto A \setminus X$ .

Answer 3

$$ \binom 62 =15 = \binom 64. $$ El número de formas de elegir 2 de 6 es igual al número de formas de elegir 4 de 6, ya que a cada forma de elegir 2 de 6 le corresponde una forma de elegir 4 de 6, es decir, las 4 que no están entre las 2 elegidas: $$ \begin{array}{rcl} AB & \leftrightarrow & CDEF \\ AC & \leftrightarrow & BDEF \\ AD & \leftrightarrow & BCEF \\ AE & \leftrightarrow & BCDF \\ AF & \leftrightarrow & BCDE \\ BC & \leftrightarrow & ADEF \\ BD & \leftrightarrow & ACEF \\ BE & \leftrightarrow & ACDF \\ BF & \leftrightarrow & ACDE \\ CD & \leftrightarrow & ABEF \\ CE & \leftrightarrow & ABDF \\ CF & \leftrightarrow & ABDE \\ DE & \leftrightarrow & ABCD \\ DF & \leftrightarrow & ABCE \\ EF & \leftrightarrow & ABCD \end{array} $$ (Y de forma similar con otros números).