El comportamiento de $\frac{x^{3} y}{x^{6} + y^{2}}$ alrededor de origen

Question

Permite estudiar el límite de

$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3 y}{x^6 + y^2} $$

Si nos fijamos en el límite a lo largo de cualquier línea recta eg $y = mx$ nos encontramos con que el límite tiende a $0$.

Estudiando el límite más nos prueba para cada curva de $y = x^k$ donde $k$ es algún número entero. Esto da que por cada $k\neq 3$, el límite tiende a $0$. Si $k=3$, el límite tiende a $1/2$.

Ahora esto demuestra que no importa lo que straigt línea o curva (con la excepción de $y=x^3$) el límite tiende a cero. También probé con un par de otros polinomios y todos tienden a cero.

Mi hipótesis es la siguiente:

El límite $$ L = \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3 y}{x^6 + y^2} $$ Es igual a cero si $y$ es cualquier polinomio con la excepción de $y = m x^3\,,\ x \in \mathbb{R}$.

Es la afirmación verdadera? Si es así alguien puede ayudar probarlo?

Answer 1

Esto no es cierto. Tomemos, por ejemplo,$y=x^3+x^4$. Entonces

$$f(x,y) = \frac{1+x}{2+2x+x^2}$$

y el límite a lo largo de la curva se $1/2$.

Answer 2

El conjunto de límite de puntos es exactamente $[-\frac12,\frac12]$. En particular, el límite en el $(0,0)$ no existe.

Cada valor en $[-\frac12,\frac12]$ es un punto límite, ya que, para todos los fijos $a$, $f(x,ax^3)=\frac{a}{a^2+1}$ para cada valor distinto de cero $x$.

Por otro lado, para cada $(x,y)$, $2|x^3y|\leqslant x^6+y^2$ por lo tanto $|f(x,y)|\leqslant\frac12$ por cada $(x,y)\ne(0,0)$.