Estructura lineal en la categoría de grupos formales

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo. Si $R$ $\mathbb{Q}$- álgebra, entonces la categoría de grupos formales sobre $R$ (o la categoría de grupo formal de las leyes) lleva a la estructura de una $R$-lineal de la categoría; esto es debido a que es equivalente a la categoría de álgebras de Lie sobre $R$ (que es libre de rango finito como $R$-módulos) por $\mathbb{Q}$-Teorema, y la última categoría es $R$-lineal. Si $R$ no es un $\mathbb{Q}$-álgebra, entonces la categoría de grupos formales sobre $R$ no tiene que ser $R$-lineal. Sin embargo, me gustaría preguntar: ¿hay alguna manera de ver el $R$-estructura lineal en la categoría de grupos formales sobre $R$ directamente, sin la clasificación en términos de álgebras de Lie, al $R$ $\mathbb{Q}$- álgebra? Por ejemplo, ¿por qué se debe esperar de un mapa de $R \to \mathrm{End}_R(G)$ para cada grupo formal $G$$R$?

Answer 1

Si $G$ es un grupo formal sobre $R$ $R$ $\mathbb Q$- álgebra, su logaritmo es definido a lo largo del $R$ (véase la fórmula explícita para el logaritmo de un grupo formal) dando así un isomorfismo de $G$ a los aditivos de grupo formal $F_a$. Queda por señalar que ${\rm End}_R(F_a)$ es isomorfo a $R$.