Anillo de vectores de Witt sobre campos finitos

Question

Acabo de empezar a estudiar los vectores de Witt y tengo dudas sobre la siguiente identidad $$W_n(\mathbb{F}_p)\cong \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$$

1. Me gustaría probar esto encontrando un mapa explícito $\phi_n: W_n(\mathbb{F}_p)\to \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ pero no pude encontrar un mapa razonable. Aunque he encontrado el isomorfismo $$\phi: W(\mathbb{F}_p)\to \mathbb{Z}_p$$ a través de $(a_0,a_1,...)\mapsto \chi(a_0)+\chi(a_1)p...$ , donde $\chi$ es el carácter de Teichmüller.

   ¿Puedo obtener $\phi_n$ componiendo $\phi$ con $pr_n:\mathbb{Z}_p \to \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ e identificar $W_n(\mathbb{F}_p)$ con $(a_0,...,a_{n-1},0,0,...)\in W(\mathbb{F}_p)$ ? ¿Existe una versión explícita de este mapa?

2. En general, me interesa el caso $A=\mathbb{F}_q$ . Sé que $W(\mathbb{F}_q)\cong \mathbb{Z}_p[\mu_{q-1}]$ debería aguantar. ¿Es posible argumentar que se trata de un isomorfismo porque $\mathbb{Z}_p[\mu_{q-1}]$ y $W(\mathbb{F}_q)$ son ambos estrictos $p$ -anillo con campo de residuos $\mathbb{F}_q$ y como tal canónicamente isomorfo?

Answer 1

Anuncio 1) En primer lugar, estoy bastante seguro de que sí, $\phi_n = pr_n\circ\phi$ aunque normalmente el índice se desvía en uno (por lo que habría esperado $W_{n-1}(\Bbb F_p) \simeq \Bbb Z/p^n$ ).

Para hacer ese mapa un poco más explícito, recuerdo un post de MathOverflow que puede ser útil en este caso. Motiva los polinomios de Witt (anotados $W(X_0, ..., X_{n-1})$ allí), que, si no me equivoco, son "más o menos" su mapa $\phi_n$ (molesto cambio de índice de nuevo, oh bueno ...). "Más o menos" porque hay que elegir algún levantamiento $$\Bbb F_p \rightarrow \Bbb Z/p^{n}: \quad \bar a \mapsto a.$$ Pero bueno, si sólo vas hasta $\Bbb Z$ y trabajar con los representantes de la vieja escuela $\{0, ..., p-1\}$ y recuerde también que en este caso tan especial, el Frobenius $(\cdot)^{\,p}$ es sólo la identidad en $\Bbb F_p$ --, puede escribir explícitamente el mapa que llama $\phi_n$ como

$$(\bar a_0, \bar a_1, ..., \bar a_{n-1}) \mapsto (a_0^{p^{n-1}} +p \cdot a_1^{p^{n-2}} + ... + \,p^{n-1} \cdot a_{n-1}) +p^n\Bbb Z$$

Para hacerlo totalmente explícito, digamos $p=5, n=3$ y decir su elemento en $W_3(\Bbb F_5)$ es $(\bar 1, \bar 4, \bar2)$ se asigna a $$(1^{5^2}+5\cdot 4^5 + 5^2\cdot 2) +5^3\Bbb Z = 5171 + 5^3\Bbb Z = 46 + 5^3\Bbb Z$$

-- y nótese el hecho crucial y divertido de que la elección del levantamiento no cambia el resultado; si, por ejemplo, se levanta $\bar 1$ a $6$ , $\bar 4$ a $9$ y $\bar 2$ a $22$ , aún así se obtiene $$(6^{5^2}+5\cdot 9^5 + 5^2\cdot 22) +5^3\Bbb Z = 28430288029929997171 + 5^3\Bbb Z= 46 + 5^3\Bbb Z$$

Añadido : Veamos la conexión con la primera parte del comentario de Jyrki Lahtonen: se pueden conseguir esos representantes de Teichmüller de $\Bbb F_p$ en $\Bbb Z/p^n$ elevando cualquier conjunto de representantes a la $p^{n-1}$ -ésima potencia; continuando con el ejemplo anterior obtenemos $\chi(1) =1$ y

$$\chi(2) = 2^{5^2} + 5^3\Bbb Z = 33554432 + 5^3\Bbb Z = 57 + 5^3\Bbb Z$$ $$\chi(3) = 3^{5^2} + 5^3\Bbb Z = 847288609443 + 5^3\Bbb Z = 68 + 5^3\Bbb Z$$ $$\chi(4) = 4^{5^2} + 5^3\Bbb Z = 1125899906842624 + 5^3\Bbb Z = 124 + 5^3\Bbb Z = -1 + 5^3\Bbb Z.$$

(Por supuesto que podríamos haber notado $\chi(p-1) = -1$ más fácil). Obsérvese que son multiplicativos, de hecho no son más que el conjunto de representantes estándar de Teichmüller $\mu_{p-1}(\Bbb Z_p)$ modulo $p^n$ y en lugar del cálculo anterior se puede escribir

$$\phi_n(\bar 1, \bar 4, \bar2) = \chi(1) + 5\cdot \chi(4) + 5^2\cdot\chi(2) +5^3\Bbb Z = 1+5\cdot (-1) + 25\cdot 57 +5^3\Bbb Z = 46 +5^3\Bbb Z.$$

Por supuesto, todo eso es equivalente, pero de esta manera se externaliza parte del trabajo en un cómputo único de los representantes de Teichmüller. Además, tenga cuidado de que tan pronto como uno trata de hacer lo mismo con $\Bbb F_q$ en lugar de $\Bbb F_p$ Las cosas se vuelven más sutiles, ya que uno tiene que poner en $p^i$ -raíces en los lugares apropiados.

Ad 2), creo que es totalmente posible argumentar así, aunque las pruebas de ese teorema que he visto (que sería la de Bourbaki en Álgebra conmutativa 9 y de Serre en Campos locales ) pasan realmente por la maquinaria vectorial de Witt y, por lo tanto, podrían mostrar un poco más de estructura. Sólo quiero señalar que, si $q=p^k$ y luego otra descripción de $\Bbb Z_p[\mu_{q-1}]$ es: el anillo de enteros (también conocido como anillo de valoración) del único sin clasificar grado $k$ extensión de $\Bbb Q_p$ .