Cómo podemos solucionar $a \le b^{r}-r$$r$?

Question

Dados dos valores de $a$$b$, ¿cómo ir sobre la solución de la siguiente desigualdad para $r$:

$$a \le b^r -r .$$

La aplicación de $\log_b$ en ambos lados de la desigualdad no me ayuda mucho ya que los rendimientos de los siguientes:

$$\log_b a \le \log_b (b^r-r) .$$

Sé que

$$\log_z x - \log_z y = \frac{\log_z x}{\log_z y} .$$

Pero eso no me ayuda a eliminar la exponenciación y resolver para $r$.

Hace años que he hecho álgebra, y ahora estoy de vuelta en la escuela de posgrado, y me estoy encontrando esta ecuación en una tarea. No recuerdo haber visto jamás una regla de los logaritmos relacionados con dichas expresiones.

El real de la tarea (después de la simplificación) involucra $9 \le 2^r - r$ que es trivialmente solucionable por simplemente echando un vistazo.

Pero hay una forma metódica para solucionar $a \le b^r-r$ $r$ dado cualquier cifras arbitrarias $a$$b$?

Answer 1

El caso de la igualdad puede ser resuelto en términos de la W de Lambert función.

Puede ser utilizado para resolver ecuaciones de la forma $$p^{ax+b} = cx + d$$

(citado de la página de la wiki).

$b^{r} -r$ es 'la mayoría' monótono, así que supongo que la solución de la igualdad será suficiente para encontrar las soluciones a su desigualdad.

Answer 2

También puede obtener una rápida y sucia aproximación para la igualdad caso con el siguiente método, que debe mantener en la mayoría de las situaciones cuando se $a, b > 1$.

Reorganizar el problema y tomar logaritmos para volver a escribir como $$\ln\left(1+ \frac{r}{a}\right) = r \ln b - \ln a.$$

Ahora, si $\frac{r}{a}$ es menor que 1 (y debe ser en la mayoría de los casos donde $a, b > 1$),

$$\ln\left(1+ \frac{r}{a}\right) \approx \frac{r}{a},$$

que le da $$r \approx \frac{- \ln a}{1/a - \ln b}.$$

Para su problema específico, este método produce un $r \approx 3.78$, mientras que la respuesta real está más cerca de a $3.66$.

Puede mejorar esta situación mediante el uso de la aproximación cuadrática

$$\ln\left(1+ \frac{r}{a}\right) \approx \frac{r}{a} - \frac{r^2}{2a^2},$$ que requiere la solución de una ecuación cuadrática.

(Estas aproximaciones provienen de la expansión de Taylor de $\ln (1+x)$.)

Answer 3

Si usted no tiene la función W, usted necesita un proceso iterativo de búsqueda de raíces tipo de solución. Tenga en cuenta que por su ejemplo r está en algún lugar entre el 3 y el 4. Esta ecuación está muy bien atendidos, por lo que cualquiera de ellos va a trabajar. Ver búsqueda de raíces para empezar