Demostrar que $\left | \cos x - \cos y \right | \leq \left | x - y \right |, \forall x,y \in \mathbb{R}.$

Question

Este es uno de los problemas de mi libro de texto donde la sección en la que se plantea el problema habla del teorema del valor medio y del teorema de Rolle. Al ver esto, no tengo ni idea de por dónde empezar. ¿Pueden darme alguna pista?

Answer 1

$\cos(x)$ es diferenciable en $\mathbb{R}$ .

Por el teorema del valor medio $|\cos(x) - \cos(y)| = |sin(\xi)||x - y|$ donde $\xi \in (x,y)$ o $(y,x)$ .

$|\sin(x)| < 1$ $\forall$ $x \in \mathbb{R}$ .

Ahora, obtenga su respuesta.

Answer 2

Esto se desprende también de la norma $|\sin(x)| \leq |x|$ :

$$\left| cos(x) - \cos(y) \right|=2 \left| \sin(\frac{x+y}{2}) \sin(\frac{y-x}{2}) \right| \leq 2 \cdot 1 \cdot \left|\frac{y-x}{2} \right|$$

Answer 3

Por integración: $$|\cos y - \cos x| = \left|-\int_x^y \sin t dt \right| \leq \int_x^y |\sin t dt| \leq \int_x^y 1 dt = |y-x|$$

Answer 4

$\newcommand{\+}{^{\dagger}}% \newcommand{\angles}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\right\vert\,}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \atop {= \atop \vphantom{\huge A}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\ket}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert #1 \right\vert}% \newcommand{\yy}{\Longleftrightarrow}$ Por ${\it Mean Value Theorem}$ , $\exists\ \xi \in {\mathbb R}\quad \ni\quad \min\braces{x,y} < \xi < \max\braces{x,y}$ que satisface $$ {\cos\pars{x} - \cos\pars{y} \over x - y} = -\sin\pars{\xi} \quad\imp\quad \verts{\cos\pars{x} - \cos\pars{y} \over x - y} = \verts{\sin\pars{\xi}} \leq 1 $$