Valores propios de una matriz tridiagonal grande

Question

Dado $a, b \in \Bbb R$ consideremos la siguiente matriz tridiagonal grande

$$M := \begin{pmatrix} a^2 & b & 0 & 0 & \cdots \\ b & (a+1)^2 & b & 0 & \cdots & \\ 0 & b & (a+2)^2 & b & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}$$

¿Qué se puede decir de sus valores propios? ¿Se conocen expresiones analíticas? ¿O, al menos, propiedades de los valores propios?

Answer 1

Llamemos $M_n$ esta matriz, y consideremos su polinomio característico $P_n := \det(XI_n-M_n)$ . La expansión según la última columna da lugar a la relación de recurrencia $$ P_n = (X-(a+n)^2)P_{n-1}-b^2P_{n-2}. $$ con condiciones iniciales $P_0 = 1$ y $P_1 = X-a^2$ .

Answer 2

Desde $M_n(a,b)$ y $M_n(a,-b)$ tienen el mismo espectro real, podemos suponer que $b\geq 0$ . Sea $\lambda_n$ sea el menor valor propio de $M_n$ . Dado que existen polinomios ortogonales ocultos, la secuencia real $(\lambda_n)_n$ no aumenta.

Supongamos que $a\geq 0$ . Tenga en cuenta que $e_1^TM_ne_1=a^2$ Entonces $\lambda_n\leq a^2$ . Denotemos por $B_n$ la matriz $M_n$ con diagonal cero (sólo el $b$ ). Entonces $M_n\geq B_n$ y $\lambda_n\geq \inf(\text{spectrum}(B_n))\geq -2b$ . Por último, la secuencia $(\lambda_n)_n$ converge a $\lambda\in [-2b,a^2]$ .

Tenga en cuenta que , si $\dfrac{b}{a^2}$ es lo suficientemente pequeño, entonces $M_n\geq 0$ y $\lambda\approx a^2$ . Si $a$ es fijo y $b$ tiende a $+\infty$ entonces $\lambda\rightarrow -2b$ .