La construcción de simpléctica tubular barrio de compacto submanifold

Question

Estoy estudiando la prueba de la Darboux-Weinstein teorema, pero estoy muy confundido acerca un paso.

Deje $M$ ser un suave colector, $Q\subseteq M$ ser un equipo compacto submanifold, y $\omega_0, \omega_1 \in \Omega^2(M)$ dos simpléctica formas en $M$ tal que $\omega_0|_Q = \omega_1|_Q$, en el sentido de que para todos los $q \in Q$, el bilineal mapas de $(\omega_0)_q,(\omega_1)_q\colon T_qM \times T_qM \to \Bbb R$ son iguales. Para todos los $t \in [0,1]$, definir $\omega_t \doteq \omega_0 + t(\omega_1-\omega_0)$.

Quiero construir un barrio de $N_0$ $Q$ todos los $\omega_t$ son simpléctica a lo largo de $N_0$. Tenga en cuenta que $\omega_t$ es no-degenerado a lo largo de $Q$ debido a la restricción de la hipótesis. Sé que debemos utilizar la compacidad de ambos $Q$$[0,1]$, pero estoy arruinando la orden.

Intento: dado $t \in [0,1]$, para todos los $q \in Q$ no es un conjunto abierto $U_{t,q}$ $q$ tal que $(\omega_t)_p$ es no degenerada para todos los $p \in U_{t,q}$. A continuación, $\{U_{t,q}\}_{q \in Q}$ es una cubierta abierta de a $Q$ y obtenemos $q_1,\ldots,q_k \in Q$ con $$Q \subseteq U_{t,q_1}\cup \cdots \cup U_{t,q_k},$$for all $t \in [0,1]$. I'd like to take the intersection in the right side, but the result will remain open only if we consider a finite amount of $t$s'.

Fija uno de estos puntos de $q_i$, para todos los $t \in [0,1]$ obtenemos un intervalo abierto $I_{t,q_i}$ $t$ tal que $(\omega_s)_{q_i}$ es no degenerada para todos los $s \in I_{t,q_i}$. El $\{I_{t,q_i}\}$ es un abierto cubierta de $[0,1]$ y obtenemos $t_{1,i}, \ldots, t_{r_i,i} \in [0,1]$ tal que $$[0,1] \subseteq I_{t_{1,i},q_i}\cup \cdots \cup I_{t_{r_i,i},q_i}$$for all $1 \leq i \leq k$. Intersecting we get $$[0,1]\subseteq \bigcap_{i=1}^n(I_{t_{1,i},q_i}\cup \cdots \cup I_{t_{r_i,i},q_i}).$$Now, for good or worse we have a finite quantity of $t$'s. Intuition says that putting $N_0$ as the intersection of $U_{t,q_1}\cup \cdots \copa U_{t,q_k}$ with $t$ funcionan a través de estos valores debería funcionar.

Pero esto no parece uniforme. Sólo puedo controlar no-degeneración uso de continuidad en cada variable por separado. Si realmente puede controlar al mismo tiempo, tengo que ver una prueba.

No, no estoy interesado en otras referencias o construcciones tubulares de los barrios en general. Quiero arreglar este argumento. Gracias.

Answer 1

Deje $(q,t)\in Q\times[0,1].$ Usted saber que $\omega_t$ es no degenerada en $q$. Por lo tanto, hay un abrir rectángulo $U_{q,t}\times V_{q,t}\subset M\times[0,1]$, que agrupa $(q,t)$, de tal manera que $\omega_s$ es no degenerada en $p$ $(p,s)\in U_{q,t}\times V_{q,t}.$ Debido a la compacidad de $[0,1]$, un número finito de la $V_{q,t}$'s de la cubierta $[0,1]$. Llamarlos $V_{q,t_1},\ldots,V_{q,t_n}$. Escribir $$U_q:=U_{q,t_1}\cap\ldots\cap U_{q,t_n}.$$ Then $U_q$ is an open neighborhood of $p$ in $M$, such that $\omega_t$ is non-degenerate at $p$ for every $(p,t)\en U_q\times[0,1]$. Finally, take $$N_0:=\bigcup_{q\in Q}U_q.$$ I think $Q$ no tiene que ser compacto.

Answer 2

Como Amitai dice en los comentarios, el mapa $$f:M \times [0,1] \to TM^* \otimes TM^*$$ $$(p,t) \to (p,t\omega_{0,p}+t(\omega_{1,p}-\omega_{0,p}))$$ es continua. Este es inmediata a partir de la representación local: $$\pi^{-1}(U) \stackrel{\Phi}{\simeq} U \times L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n;\mathbb{R})$$ $$(p,\omega) \to (p,\Phi_{2}(\omega)), $$ desde luego tenemos que el mapa es localmente \begin{align*} f|_{U \times [-1,1]}:(p,t) &\to (p,\Phi_{2}(\omega_{0,p}+t(\omega_{1,p}-\omega_{0,p})) \\ &\to (p,\Phi_{2}(\omega_{0,p})+t\Phi_2(\omega_{1,p})-t\Phi_2(\omega_{0,p})), \end{align*} que es obviamente continua. Así, el resultado que alrededor de cada $q \in Q$ existe una vecindad $U_q$ tal que $\omega_t$ es no degenerada para cada $t \in [0,1]$ sigue por el tubo de lema y el hecho de que los no-degeneración es un estado abierto.

Puesto que la cuestión de si $Q$ ser compacto es relevante o no surgió, debo decir que yo no veo por qué la compacidad de $Q$ debe jugar un papel distinto en la tubular barrio teorema (y creo que no es necesario en este caso). Tenga en cuenta también que el barrio construido por Amitai es no necesariamente un tubular de vecindad. Permítanme, entonces, elaborar un poco sobre la prueba que probablemente son los siguientes:

Esto equivale a

• Mostrando que no es un barrio de $N_0$ tal que $\omega_t$ es no degenerada para todos los $t$.
• Mostrando que no es un barrio de $N_1$ de manera tal que el flujo del campo vectorial a partir de un potencial de Moser, el truco de la que existe hasta el momento $1$.
• Mostrando que sí es posible el uso de Moser truco mostrando que $\frac{d}{dt}\omega_t$ es exacta en un barrio de $N_3$.
• Conseguir un barrio que satisface todos los que.

Viñeta $1$ no necesita de compacidad, como hemos visto.

Viñeta $2$ no necesita compacidad así. Lo que está detrás de él es el hecho de que podemos ver el problema a nivel local, y una vez que lo hacemos, podemos recordar que el punto hasta el cual el flujo de un campo vectorial está garantizado a ser definida por la existencia y unicidad teorema depende, esencialmente, en una inversa de forma proporcional a la $\sup$ norma del vector de campo (un campo de vectores que se $0$$Q$).

Viñeta $3$ (e $4$) es donde tubular barrio aparece: en lugar de tomar una arbitraria de vecindad $N_3$, consideramos que un tubular de vecindad $N_3$ que ya está dentro de $N_0 \cap N_1$ (esto puede parecer circular basado en cómo hice las construcciones cronológicamente, pero la circularidad es fácilmente eludidas por ir a punto de viñeta $3$,$2$, luego de regresar a $3$ con un pequeño conjunto abierto).

Si $Q$ es compacto, la manera de obtener un $N_3$ es simple: tenemos un barrio de $N_0 \cap N_1$$Q$, por lo tanto (la fijación de una métrica en $M$), existe un pequeño suficientemente $\epsilon>0$ de manera tal que el $\epsilon$-barrio de $Q$ está dentro de $N_0 \cap N_1$. Tomando un tal vez menor $\epsilon$, podemos organizar un tubular de vecindad.

Si $Q$ no es compacto, un tubular de vecindad no es necesariamente de la forma de una $\epsilon$-el barrio, y se necesita un poco más de trabajo para mostrar que no existe un tubular de vecindad dentro de $N_0 \cap N_1$ (para ser honesto, no recuerdo los detalles, en este caso).

El hecho de ser un tubular barrio es que la inclusión $i: Q \to N_3$ es un homotopy de equivalencia. Una vez que sabemos que, de ello se sigue inmediatamente de la homotopy la invariancia de de Rham cohomology que $\frac{d}{dt}\omega_t=\omega_1-\omega_0=d\sigma$$N_3$, ya que el $\iota^*(\omega_1-\omega_0)$ es cero, por supuesto (por lo tanto, $\omega_1-\omega_0$ es exacta). Relevante: el argumento dado para esta parte tiende a ser bastante complicado en algunos textos estándar, aparentemente por ninguna buena razón.

Así que, a menos que exista alguna sutileza en el tubular barrio teorema de no-compacto submanifolds que estoy vistas (o he pasado por alto alguna otra razón que no puedo), no veo por qué no $Q$ ser compacto debería ser necesario.