La suma de los factores Determinantes = producto Escalar con vector normal?

Question

Hoy he aparentemente simple pregunta y tal vez alguien sabe la respuesta sin entrar en el desordenado cálculos.

Así que tenemos $n$ vectores $v_1,\dots,v_n\in\mathbb{R}^n$ y vamos a suponer por el momento que llegan a formar una base. Además nos fijamos en todos los vectores que son ortogonales a la hyperplane generado por estos vectores, por lo $$\mathrm{Ker}\begin{pmatrix}v_1-v_n\\\vdots \\ v_{n-1}-v_n\end{pmatrix}.$$

Mi pregunta: ¿la siguiente ecuación pulsado durante algunos $N\neq 0$ en el anterior kernel? $$\sum_{i=1}^{n}\det\begin{pmatrix}v_1 \\ \vdots \\ v_{i-1} \\ v \\ v_{i+1} \\ \vdots \\ v_n\end{pmatrix} =\langle N,v\rangle,\qquad\forall\,v\in\mathbb{R}^n $$

Es muy fácil ver en $\mathbb{R}^2$, pero como ya he dicho: estoy buscando una prueba sin desordenado cálculos.

Gracias!

Richard

Answer 1

Desde $\{v_1,\dotsc,v_{n-1},v_n\}$ es una base, por lo que también es $\{v_1-v_n,\dotsc,v_{n-1}-v_n,v_n\}$, y por lo tanto $$ \forall 1 \leq k \leq n, \quad \det(v_1-v_n \vert \cdots \vert v_{n-1}-v_n \vert v_k) = \begin{cases} 0, &\text{if %#%#%,}\\ \det(v_1 \vert \cdots \vert v_n) \neq 0, &\text{if %#%#%.} \end{casos} $$ Por la multilinealidad de la determinante, $1 \leq k \leq n-1$ por lo tanto define un valor distinto de cero lineal funcional en $k = n$ con el kernel de la hyperplane $v \mapsto (v_1-v_n \vert \cdots \vert v_{n-1}-v_n \vert v)$ atravesado por $\mathbb{R}^n$, por lo que no existe una única no-vector cero $\Pi$ tal que $$ \forall v \in \mathbb{R}^n, \quad \det(v_1 - v_n \vert \cdots \vert v_{n-1} - v_n \vert v) = \langle N ,v \rangle; $$ de hecho, $\{v_1-v_n,\dotsc,v_{n-1}-v_n\}$ es, precisamente, la generalizada producto cruzado de $N \in \Pi^\perp$. Usted puede utilizar la multilinealidad y antisymmetry de $N = (v_1 - v_n) \times \cdots \times (v_{n-1}-v_n)$ (y un poco de cuidado) para comprobar que $$ \forall v \in \mathbb{R}^n, \quad \langle N, v\rangle = \det(v_1-v_n \vert \cdots \vert v_{n-1}-v_n \vert v) = \sum_{k=1}^{n} \det(v_1 \vert \cdots \vert v_{k-1} \vert v \vert v_{k+1} \vert \cdots \vert v_n), $$ como se requiere.