Deje $D \subseteq \mathbb{C}$ ser abierto y $f : D \rightarrow \mathbb{C}$ meromorphic con un polo de orden $\ge 2$$a \in D$. A continuación, $f$ no es inyectiva.
Hay una sencilla prueba para esto? Esto no es tarea; se trata de user8268 la respuesta en todo el 1-1 de la función.
Respuestas
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Si $f$ tiene un polo de orden $m$$a$, luego (después de la eliminación de la singularidad movible) $g = 1/f$ tiene un cero de orden $m$ no. Deje $C$ ser un pequeño círculo (orientado positivamente) en torno a $a$. Para $\alpha \notin g(C)$, el número de ceros (contado por la multiplicidad) de $g - \alpha$ dentro $C$ es $\dfrac{1}{2\pi i} \oint_C \dfrac{g'(z)}{g(z)}\ dz$, y este es continua (y, por tanto, constante) en un barrio de $\alpha = 0$, con un valor de $m$$\alpha$. Pero los ceros de $g'$ están aislados, por lo que el $m$ ceros de $g-\alpha$ son todos distintos si $C$ es lo suficientemente pequeño.
Davem M
Puntos
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He aquí una manera. Usted puede simplemente asumir $f$ es sólo un holomorphic función con un cero de orden 2 en $a$, al menos a nivel local. (Si hay un polo/cero de un orden diferente, modificar el enfoque de forma adecuada, como se muestra a continuación.) Ahora, el "gran fresco teorema" es que si una función tiene un cero de orden 2, por la elección de un adecuado holomorphic sistema de coordenadas, podemos asumir que es sólo $z^2$. (Hemos asumido $a=0$.) Para construir este diagrama, escriba $f(z) = z^2h(z)$ $h(0) \neq 0$ y holomorphic. A continuación, la función de $g(z) = z\sqrt{h(z)}$ está bien definido y holomorphic en una vecindad de cero y $g(z)^2 = f(z)$. Y ahora la parte interesante. Tomando derivados, nos encontramos con $g'(0) = \sqrt{h(0)} \neq 0$, y por tanto, por el teorema de la función inversa $g$ es en realidad una invertible holomorphic función de tomar $0$$0$. Así, el cambio de coordenadas con $w = g(z)$,$w^2 = f(g^{-1}(w))$. Este reescribe $f$ en la agradable forma.
Desde $z^2$ no es 1-1 y $g$ es un bijection, $f$ no es 1-1. El resultado de este enfoque es que ahora localmente entender el comportamiento de todos los meromorphic funciones! (Hasta un bonito gráfico).
En general, si usted escribe $f(z) = z^kh(z)$ donde $h$ holomorphic con $h(0) \neq 0$, $g(z) = zh(z)^\frac{1}{k}$ da una bien definida holomorphic función en un barrio de cero con $g'(z) = \frac{1}{k}zh(z)^{\frac{1}{k}-1}h'(z) + h(z)^\frac{1}{k}$, y por lo $g'(0) \neq 0$. Para que podamos realizar el cambio de coordenadas con $w = g(z)$, como en el caso anterior. Así, por un polo o cero de cualquier orden $\geq 2$, podemos representar a $f$ en un sistema de coordenadas en el que es obvio que no es inyectiva.
