Estoy tratando de resolver el problema de valor inicial $(i\partial_t+\Delta_x)u(t,x)=0$, $u(0,x)=f(x)$ para la ecuación de Schrödinger ($t\in\mathbb{R}$, $x\in\mathbb{R}^n$, $f$ Schwartz). Sé que una solución fundamental está dado por $K(t,x)=(4\pi it)^{-n/2}e^{i|x|^2/{4t}}$. ¿Cómo debo interpretar $\sqrt{i}$ aquí? Estoy tratando de mostrar que si me convolución de la anterior solución fundamental a $K$ con los datos iniciales $f$ (convolución en la distribución espacial de la variable $x$), a continuación, obtener la solución del problema de valor inicial. Específicamente, ¿cómo puedo demostrar que $K\ast f\rightarrow f$$t\rightarrow0$? De manera más general, ¿cuáles son las diferencias entre este problema y el problema análogo para la ecuación del calor $(\partial_t-\Delta_x)u(t,x)=0$ (aquí se $t>0$)? [Sé que la ecuación de Schrödinger y la solución fundamental se obtienen a partir de su calor partes a través de la $t\mapsto it$.] ¿Por qué es la ecuación de Schrödinger tiempo reversible (es decir, ¿por qué puede ser resuelto a la vez hacia delante y hacia atrás en el tiempo), mientras que la ecuación del calor no? El total de la integral de los heat kernel (con respecto a $x$)$1$; es el total de la integral de la "Schrödinger kernel" $K$ también igual a $1$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
¿Cómo debo interpretar $\sqrt{i}$ aquí?
Las dos raíces difieren por un factor de $-1$. Para una de las raíces de las $\lim_{t\to 0} K* f = f$, por el otro, $\lim_{t\to 0} K*f = -f$. Elija el que da a la antigua (la correcta es la dada por el estándar raíz cuadrada de $\mathbb{C}$ con la rama de corte a lo largo del eje real negativo, por lo $\sqrt{i} = \exp \pi i / 4$).
Convergencia $t\to 0$.
Si los datos de $f$ es en Schwartz clase, sólo puede hacerlo a través de la transformada de Fourier. Pero si quieres hacerlo de forma más general, la función de los espacios, y obtener estimaciones sobre el pointwise convergencia, el problema es en realidad increíblemente delicado (y no completamente resuelto todavía). Los documentos pertinentes están la de Sjölin y Vega escrito de forma simultánea pero independiente.
Diferencia de la ecuación del calor.
En el caso de la ecuación del calor, la convolución de los kernels $H_t$ $t > 0$ son en realidad Schwartz funciones, y uno tiene la familia que en realidad forman una familia de "Buenos Granos" (en la terminología de E. Stein) para que de la realidad tiene el teorema general que
Teorema Si $f$ es una función integrable, y $f$ es continua en a $x_0$. Deje $H_t$ ser una familia de "Granos Buenos" (o aproximaciones a la identidad), a continuación,$\lim_{t\to 0} H_t* f(x_0) = x_0$.
El núcleo de Schrödinger es en realidad muy lejos de ser un "Buen kernel" (los criterios por los que son (a) la integral 1 (b) absoluta integral limitada (c) restricciones de distancia desde el origen, el $\lim_{t\to 0}$ absoluta de la integral tiende a cero; (b) y (c) bastante claramente no para el núcleo de Schrödinger). Y así el general anterior teorema no se puede aplicar.
Pero es el total de la integral 1?
Sí. Mientras que la absoluta integral de la Schrödinger kernel no converge, su integral impropia converge a 1 (uno puede evaluar, por ejemplo, tomar una integral de contorno). Una indicación de esto es que su transformada de Fourier es, por definición, $$ \hat{K}(t,\xi) = \exp (- i t \xi^2) \implies \hat{K}(t,0) = \exp 0 = 1 $$ A continuación, podemos señalar que la definición de la transformada de Fourier $$ \hat{K}(t,\xi) = \int_{-\infty}^\infty K(t,x) \mathrm{d}x. $$ Así que asumiendo que todas las cantidades relevantes convergen el valor del total de su integral debe ser 1.
(Una manera de hacer que el argumento anterior todavía más precisa es que para cualquier Schwarz función de $f$ como se verifica, a través de la propiedad de $K$ como un multiplicador de Fourier, que $ \int K* f \mathrm{d}x = \int f \mathrm{d}x $.)
Tiempo reversibilidad?
Una "meta"con el argumento de que la ecuación de Schrödinger, si puede ser resuelto a nivel local, debe ser el tiempo reversible, se encuentra en la forma de la ecuación. Observar que el complejo de la conjugación de la operación puede ser combinado con la inversión de tiempo para mostrar la hora reversibilidad (si $\Psi$ es una solución para Schrödinger, ecuación de, $\bar{\Psi}$ resuelve el complejo conjugado de la ecuación, que es la misma ecuación como el tiempo invertido ecuación). Esto radica en el hecho de que no hay elección canónica de que la raíz cuadrada de -1 llamamos a $i$, y que nosotros llamamos $-i$. Así que si la "Mecha rotación" de la ecuación del calor se a sentido como una ecuación de evolución, debe ser evolucionante en tanto $+i$ $-i$ tiempo imaginario, y así debe de ser el tiempo reversible.
Matemáticamente (con el fin de ilustrar la intuición básica, voy a cometer el pecado de mentir por omisión de más difícil detalles), la diferencia entre el calor y las ecuaciones de Schrödinger es (a grandes rasgos) la diferencia entre el real y complejo de la función exponencial $e^t$$e^{it}$$t\in\mathbb{R}$. Hasta los más complejos de la conjugación, la exponencial compleja es "simétrica": $e^{i(-t)} = \overline{e^{it}}$. Pero la función de $e^t$ es bastante evidente que no simétrica. Ahora, la escritura formal de la solución a la ecuación del calor $$ \partial_t u = \triangle u $$ utilizar la educación a distancia tipo de notación $$ u(t) = e^{t\triangle} u_0 $$ vemos que desde $\triangle$ es un auto adjunto del operador con autovalores negativos, $e^{t\triangle}$ es una contracción, y como $e^{t(-1)}$ no es un tiempo reversible, mientras que $$ i\partial_t u = \triangle u $$ se resuelve por $$ u(t) = e^{it\triangle} u_0$$ y ahora desde $\triangle$ es auto-adjunto, sus autovalores son reales, tenemos que el exponente es puramente imaginario. Así que la solución operador se comporta como el complejo exponencial $e^{it(-1)}$ que, como se mencionó anteriormente, es el tiempo reversible.
