¿Por qué las funciones de onda relativistas deberían transformarse bajo la transformación de Lorentz y no de Poincaré?

Question

Se requiere que una función de onda relativista se transforme correctamente bajo la transformación de Lorentz. ¿Por qué no deberíamos más bien tener que se transforme correctamente bajo las transformaciones de Poincaré? En el libro de Wu Ki Tung "Teoría de grupos en Física" se menciona que, aunque las representaciones del grupo de Lorentz finito no son unitarias con generadores no autoadjuntos y por lo tanto no corresponden a ningún estado físico $|\psi\rangle$, variables físicas como la posición, momento o funciones de onda y campos deben transformarse como representaciones dimensionales finitas del grupo de Lorentz. Sé que los estados físicos surgen naturalmente con las representaciones irreducibles unitarias del grupo de Poincaré y están etiquetados por dos índices (M, s) de masa y espín. Pero los estados físicos también surgen de la solución de ecuaciones de ondas relativistas que involucran a $\psi(x)$. Entonces, si tengo una función de onda $\psi(x)$ solución de estas ecuaciones, ¿por qué debería requerir (si es una condición que impongo) o, simplemente, es evidente que es una cantidad que se comporta bien bajo los elementos del grupo de Lorentz y no del más general de Poincarè? ¿Tiene la función de onda traducida (de una cantidad $c$) $\psi'(r)\equiv\psi(x-c)$ algunos problemas?

Answer 1

Todos los campos físicos se transforman bajo el grupo de Poincaré completo. El grupo de Poincaré, así como su subgrupo de Lorentz, no es compacto, lo que significa que no tiene representaciones unitarias de dimensión finita. Es mucho más conveniente trabajar con el pequeño subgrupo compacto del grupo de Poincaré, que es el grupo de rotación $SO(D)$ para el caso de partículas masivas, y $SO(D-1)$ para las partículas sin masa. Consulte Weinberg I para obtener una discusión detallada.