Intervalo de confianza para la suma de azar larga generado por tirar la moneda

Question

Esta pregunta está relacionada con la Suma de azar larga generado por tirar la moneda. Aquí está la correspondiente descripción del problema dado por Memming:

Deje $(\pi_1, \pi_2, \cdots)$ ser una secuencia infinita de números reales tales que a$\forall i\; \pi_i > 0$$\sum_i \pi_i = 1$. Esto puede ser pensado como una probabilidad más números naturales.

Deje $(z_1, z_2, \ldots)$ ser una secuencia de forma independiente e idénticamente distribuidas de Bernoulli variables aleatorias tales que $P(z_i = 1) = p$$P(z_i = 0) = (1-p)$.

¿Qué podemos decir acerca de la distribución de $X = \sum_i \pi_i z_i$?

$X$ es la suma de un azar larga de $(\pi_i)$ generado por tirar la moneda.

Desde $E[X] = p$, $X$ puede ser utilizado para obtener una estimación de $p$. Dada la secuencia $\pi_i$, ¿cómo funciona el correspondiente intervalo de confianza? Estoy especialmente interesado en el caso, donde $\pi_i$ es una progresión geométrica $\pi_i := (1-\rho) \rho^{i-1}$.

Edit: Más precisamente, me gustaría saber un método para calcular la óptima (la más pequeña) intervalo de confianza. Los correspondientes límites inferior y superior son funciones de la secuencia que se indica $(\pi_1, \pi_2, \cdots)$, $L_\alpha=L_\alpha(\pi_1, \pi_2, \cdots)$ y $U_\alpha=U_\alpha(\pi_1, \pi_2, \cdots)$, respectivamente, que cumplan $P(X<L_\alpha)=P(X>U_\alpha)\leq\frac{\alpha}{2}$ de nivel de confianza dado $\alpha$. Yo también estaría satisfecho con un eficiente procedimiento numérico.

Edit: Cambiado ...¿cómo los correspondientes intervalos de confianza? a ...¿cómo funciona el correspondiente intervalo de confianza? para hacer esta pregunta con más claridad.

Answer 1

Desde $\mathbb E(X)=p$$\mathrm{var}(X)=p(1-p)\vartheta$$\vartheta=\sum\limits_i\pi_i^2$, iterando $n$ veces la experiencia y denotando por $S_n$ la suma de estos $n$ resultados de los rendimientos de $S_n$ de la media del $np$ y la varianza $np(1-p)\vartheta$. Por lo tanto, $$ Z_n=\frac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)\vartheta}}\longrightarrow Z, $$ donde $Z$ es normal estándar. Por lo tanto $$ \mathbb P\left(\left|p-\frac{S_n}n\right|\geqslant\frac{z_\alpha}{n\sqrt{n}}\sqrt{S_n(n-S_n)\vartheta}\right)\longrightarrow\mathbb P(|Z|\geqslant z_\alpha)=2(1-\Phi(z_\alpha)). $$ Si $\pi_i=\rho(1-\rho)^{i-1}$,$\vartheta=\dfrac{\rho}{2-\rho}$.

Edit: Nonasymptotic de los límites que, para cada $z\gt0$ y cada una de las $n\geqslant1$, $$ \mathbb P(|Z_n|\geqslant z)\leqslant\frac1{z^2}. $$ En otras palabras, teniendo en cuenta el dominio $$ D_{n,z}(s)=\{u\en[0,1]\mid (s-nu)^2\leqslant nzu(1-u)\vartheta\}, $$ uno se $$ \mathbb P(p\en D_{n,z}(S_n))\geqslant1-\frac1{z^2}. $$ Tenga en cuenta que si $S_n/n\approx p$, $D_{n,z}(S_n)$ es aproximadamente el intervalo de $$ \left[p-\frac{z}{n\sqrt{n}}\sqrt{S_n(n-S_n)\vartheta};p+\frac{z}{n\sqrt{n}}\sqrt{S_n(n-S_n)\vartheta}\right], $$ por lo tanto la pérdida en la aparente calidad de la aproximación a este exceso de rigor implica, es principalmente para reemplazar el asintótica límite superior $2(1-\Phi(z))$$1/z^2$.