Este es un ejercicio en Hungerford. Pero puede alguien explicar por qué es de los siguientes no es un contra-ejemplo?
Deje $G$ ser la suma directa de $|\mathbb{R}|$ copias de $\mathbb{Q}$. Deje $K$ ser la suma directa de $|\mathbb{N}|$ copias de $\mathbb{Q}$. A continuación, $G \oplus \mathbb{Q} \cong G \oplus K$ pero $\mathbb{Q}$ no es isomorfo a $K$.
En efecto, supongamos $f : \mathbb{Q} \rightarrow K$ $\mathbb{Z}$- módulo de isomorfismo. Podemos demostrar que $f$ $\mathbb{Q}$- módulo de isomorfismo, obteniendo una contradicción. Para cualquier $v \in Q$ sin-cero y un valor distinto de cero natural $b$ hay un único, $w$ tal que $bw = v$$w = (1/b)v$. Tenemos $b[(1/b)v] = v$$b f((1/b) v) = f(v)$. La misma singularidad argumento se aplica en $K$ ya que es de torsión, por lo $f((1/b) v) = (1/b) f(v)$. Por lo tanto $f$ $\mathbb{Q}$- módulo de isomorfismo.
