demostrar $x \mapsto x^2$ es continua

Question

Te voy a mostrar la continuidad de esta función con la ayuda de $\epsilon$-$\delta$ argumento.

La función es: $g: \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R}$, $x \mapsto x^2$.

Dada la $\epsilon$-$\delta$ definición de límite, he intentado de la siguiente manera:

Debemos tener: $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$, por lo que, a continuación,$|x^2-x_0^2|=|(x-x_0)(x+x_0)|=|(x-x_0)||(x+x_0)|$, lo $|x-x_0|<\frac{\epsilon}{|x+x_0|}$. Así que ahora voy a elegir a $\delta=\frac{\epsilon}{|x+x_0|}$.

Es eso suficiente? Estoy escribiendo esta frase como una máquina, pero yo no soy de la comprensión intuitiva.

Answer 1

No. $\delta$ debe depender sólo de $x_0,\epsilon$ y nunca en $x$. Aquí es lo que vamos a hacer:

La problemática plazo es $\left|x+x_0\right|$. Tenemos que \begin{equation} \left|x+x_0\right|= \left|x-x_0+2x_0\right|\le \left|x-x_0\right|+\left|2x_0\right|<\delta+2\left|x_0\right|\end{equation} Por lo tanto, \begin{equation}\left|x-x_0\right|<\delta\implies \left|f(x)-f(x_0)\right|=\left|x+x_0\right|\left|x-x_0\right|<(\delta+2\left|x_0\right|)\delta\end{equation} Debemos elegir un $\delta$, de modo que $$(\delta+2\left|x_0\right|)\delta<\epsilon$$ La elección de un $\delta$ por la anterior podría ser una complicación. Pero debido a que $\delta$ es nuestro para elegir podemos simplificar las cosas un poco exigente $\delta<1$. A continuación, $$(\delta+2\left|x_0\right|)\delta<(1+2\left|x_0\right|)\delta$$ y así es suficiente para elegir a$0<\delta<1$, de modo que $$(1+2\left|x_0\right|)\delta<\epsilon$$ Las cosas deben ser straighforward ahora.

Por el bien de la finalización tenemos $$(1+2\left|x_0\right|)\delta<\epsilon\iff \delta<\frac{\epsilon}{1+2\left|x_0\right|}$$ Pero debido a que $\delta<1$ debemos optar $\delta>0$, de modo que $$\delta<\min\left\{1,\frac{\epsilon}{1+2\left|x_0\right|}\right\}$$ Tomando $$\delta=\frac12\min\left\{1,\frac{\epsilon}{1+2\left|x_0\right|}\right\}$$ completa la prueba de