¿Resolver una ecuación trigonométrica?

Question

¿Cómo resolvería la siguiente ecuación? $$ 1+ \ sin (x) = 2 \ cos (x) $$ Estoy teniendo dificultades con eso.

Answer 1

Sugerencia: Cuadrada de ambos lados y expresa $\cos^2 x$ $\sin^2 x$.

Se obtiene una ecuación cuadrática en $\sin^2 x$. Después de encontrar las soluciones de esta ecuación, asegúrese de sustituir en la ecuación original para verificar si en efecto son las raíces de la ecuación original. El proceso de cuadratura podría producir raíces "espurias". (No sucede, pero comprobar es barato).

Answer 2

Esto puede ser difícil, pero si dejas $q=\tan(x/2)$ y $\sin x=2q/(1+q^2)$ y $\cos x=(1-q^2)/(1+q^2)$.

Answer 3

Déjame tomar una puñalada en esto. Tuve que verificar dos veces unas identidades. En primer lugar, utilizamos la identidad $\cos(\frac\pi 2-x)=\sin x$ y $\sin(\frac\pi 2-x)=\cos x$.

$$1+\cos(\frac\pi 2-x)=2\sin(\frac\pi 2-x)$$ $$\frac{1+\cos(\frac\pi 2-x)}{\sin(\frac\pi 2-x)}=2$$

A continuación, utilizamos la identidad de medio ángulo $\tan\frac\theta 2=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$.

$$\cot(\frac\pi 4-\frac x2)=2$$ $$\tan(\frac\pi 4-\frac x2)=\frac12$$

Desde aquí, tomar la tangente inversa y el resto es álgebra.

Answer 4

Podemos tratar de evitar el cuadrado para evitar pruebas para extrañosde la raíz. $$2\cos x-\sin x=1$$

Poner a $r\cos\theta=2,r\sin\theta=1$ donde $r>0 $

El cuadrado y sumando obtenemos $r^2=2^2+1^2\implies r=\sqrt5$

En la división, $\tan \theta=\frac12$ donde $0<\theta<\frac\pi2$ $\sin\theta,\cos\theta>0$

tenemos $$\cos\theta\cos x-\sin\theta\sin x=\sin\theta$$(cancelling $r$ en cualquiera de los dos lados )

o, $\cos(x+\theta)=\cos(\frac\pi2-\theta)$

Por eso, $$x+\theta=2n\pi\pm\left(\frac\pi2-\theta\right)$$ donde $n$ es cualquier entero.

Tomando $'-'$, $$x+\theta=2n\pi-\left(\frac\pi2-\theta\right)\implies x=2n\pi-\frac\pi2$$

Tomando $'+'$, $$x+\theta=2n\pi+\left(\frac\pi2-\theta\right)\implies x=2n\pi+\frac\pi2-2\theta=2n\pi+\frac\pi2-2\arctan \frac12$$

Ahora, sabemos $\cos2y=\frac{1-\tan^2y}{1+\tan^2y},\sin2y=\frac{2\tan y}{1+\tan^2y},\tan2y=\frac{2\tan y}{1-\tan^2y}$

Si $\arctan \frac12=y,\tan y=\frac 12$

$$\cos2y=\frac35,\sin2y=\frac45,\tan2y=\frac43$$

Por eso, $$2y=2\arctan \frac12=\arccos\frac35=\arcsin\frac45=\arctan \frac43$$

Así, $$x=2n\pi+\frac\pi2-\arccos\frac35=2n\pi+\arcsin\frac35$$ as $\arcsen z+\arccos z=\frac12$ for $-1\le z\le1$

Del mismo modo, $$x=2n\pi+\arccos\frac45=2n\pi+\arccot\frac43$$