El libro que yo estoy utilizando para mi Resumen curso de Álgebra Abstracta Contemporánea de Álgebra por José A. Gallian.
Deje $E/F$ ser una extensión de Galois con grupo de Galois isomorfo a $\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_4$. Determinar el subcampo de celosía para $E/F$.
Me preguntaba si alguien podría guiarme en la dirección correcta sobre cómo solucionar este problema.
De lo que yo no entiendo, Gal$(E/F)\cong \mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_4$. La Teoría de Galois, en pocas palabras, se utiliza para determinar cómo muchos de los subcampos son entre $E$$F$. Si $E/F$ es "agradable", a continuación, hay una correspondencia uno a uno entre el conjunto de los subcampos y el conjunto de los subgrupos.
Yo era capaz de encontrar subgrupos de el producto directo de los $\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_4$. No sé si he encontrado todos los subgrupos para ser honesto con usted. Yo lo hice a mano y no estaba seguro de si había un teorema para verificar si tengo el número de subgrupos. La lista es como sigue.
- $S_0=\{(0,0)\}$, el subgrupo trivial.
- $S_1=\{(0,0),(0,2)\}$
- $S_2=\{(0,0),(1,2)\}$
- $S_3=\{(0,0),(1,0)\}$
- $S_4=\{(0,0),(0,1),(0,2),(0,3)\}$
- $S_5=\{(0,0),(1,1),(0,2),(1,3)\}$
- $S_6=\{(0,0),(0,2),(1,0),(1,2)\}$
- $\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_4=\{(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3)\}$
A partir de la información que yo tengo, podemos ver que $\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_4$ 3 subgrupos de orden 4 y 3 grupos de orden 2. Por lo tanto, tenemos 6 subcampos entre el$E$$F$. Este resultado en la siguiente rejilla.
Estoy en el camino correcto? Sería el enfoque similar, si el grupo de Galois fue isomorfo a $\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_4$? ¿Existe una manera más rápida de encontrar los subgrupos de productos directos?
Lo siento por el más largo leer. Sinceramente gracias por tomarse el tiempo para leer este post. Agradezco enormemente cualquier ayuda que puede proporcionar.
