Puede haber un punto en una superficie de Riemann de tal manera que cada función racional se ramificó en este punto?

Question

Deje $X$ ser un equipo compacto conectado superficie de Riemann, y deje $S\subset X$ ser un subconjunto finito.

¿Existe un morfismos $f:X\to \mathbf{P}^1(\mathbf{C})$ que es unramified en los puntos de $S$?

Estoy interesado en el caso de que $X$ es de género, al menos,$2$. (El género cero caso es trivial: tome $f$ a ser la identidad.)

La respuesta es trivial si $S$ está vacía. (Cualquier morfismos $f:X\to \mathbf{P}^1(\mathbf{C})$ va a hacer.)

Deje $h:X\to \mathbf{P}^1(\mathbf{C})$ ser una de morfismos con ramificación locus $R(h)$. Entonces, si $S\subset X\backslash R(h)$, la respuesta es sí.

Cómo efectiva nuestra respuesta puede ser? Es decir, supongamos que existe un $f$. Entonces, puede que nos unía a su grado?

El título es un caso especial de la pregunta anterior: tome $S=\{\textrm{pt}\}$.

Answer 1

Si $S=\lbrace P\rbrace $, poner una estructura algebraica $X^{alg}$ $X$ y tomar un uniformizing parámetro $ t\in \mathcal O_{X^{alg},P}$$P$.
Desde $\mathcal O_{X^{alg},P}\subset Rat(X^{alg})=\mathcal Mer(X)$, la función de meromorphic $t$ visto como un mapa de $X\to \mathbb P^1(\mathbb C)$ resuelve el problema.
Se puede generalizar que para el caso de que $S$ es arbitraria conjunto finito, de nuevo poniendo una expresión algebraica de la estructura de la superficie de Riemann $X$: buscar Corolario 1.16 en el Capítulo VI de Miranda del libro, que resuelve el problema.

Edit: me Dejes sin embargo dar una prueba de uso de Riemann-Roch.

Fijar un punto arbitrario $x_0\in X\setminus S$ fuera de $S=\lbrace x_1,...,x_n \rbrace$.
Considerar los divisores (donde $N$ será determinado más adelante)
$$D_1=(-2)\cdot x_1+...+(-2)\cdot x_n+N\cdot x_0\quad \text {and} \quad D_2=(-1)\cdot x_1+...+(-1)\cdot x_n+N\cdot x_0$$ y sus asociados haces (=línea de paquetes) $\mathcal O(D_1), \mathcal O(D_2)$.
Dan lugar a una breve secuencia exacta de las poleas $$ 0\to \mathcal O(D_1)\to \mathcal O(D_2)\to \mathcal Q\to 0 $$ where the quotient sheaf $\mathcal P$ es una suma finita de sky-scraper las poleas.
Tomando cohomology llegamos $$ ...\to H^0(X, D_2)\to H^0(X,\mathcal Q) \to H^1(X,D_1)\to ...$$
Ahora $H^1(X,D_1)$ es dual a $H^0(X,K_X(2\cdot x_1+...+2\cdot x_n-N\cdot x_0))$ (por la dualidad de Serre) y por lo tanto es cero para $N\gt 2n+2g-2 $.
Esta elección de $N$ implica que los morfismos $\gamma : H^0(X, D_2)\to H^0(X,\mathcal Q)$ es surjective.

Y qué tiene esto que ver con tu problema? Se soluciona!
De hecho, si usted elige una coordenada $z_i$ cerca de $x_i$, el tallo $\mathcal Q_{x_i}$ se identifica con el complejo de la línea de $\mathbb C\cdot z_i$ y por la elección de una sección de $s\in H^0(X, \mathcal O(D_2))$ la asignación a un $\gamma(s)\in H^0(X,\mathcal Q)$ no-cero en todos los $x_i$ usted obtener la función de meromorphic $s$: su único polo es al $x_0$ y tiene ceros de orden exactamente $1$ en el $x_i$'s.

Answer 2

Siempre se puede obtener un $f$ grado $\max(g+1,n)$ donde $g$ es el género y $n$ el número de puntos en $S$. Creo que no es una buena estimación (el problema es que me constructo $f$, de modo que cada punto de $S$ es un (simple) polo; no debe ser $f$'s con bajos grados si los valores en puntos de $S$ son diferentes)

Aquí es cómo lo veo. Deje $P_1,\dots,P_n$ ser los puntos en $S$ y deje $z_i$ ser un local de coordenadas alrededor de $P_i$ (s.t. $z_i(P_i)=0$) en algunos de disco $D_i\subset \Sigma$. Supongamos que los discos no se superponen. La función de $1/z_i$ $D_i\cap (\Sigma -P_i)$ da una clase de $\alpha_i\in H^1(\Sigma,\mathcal{O})\cong\Omega^1(\Sigma)^*$ (uso $D_i$ $\Sigma-P_i$ como una apertura de la tapa de $\Sigma$; $1/z_i$ es una función en $D_i\cap(\Sigma-P-i)$). Sabemos que $\alpha_i\neq0$ (si $\alpha_i$ fueron una coboundary, a continuación, $1/z_i=h-k$ donde $h$ es holomorphic en $\Sigma-P_i$$k$$D_i$, pero eso significa que $h$ es meromorphic en $\Sigma$ con un único polo en $P_i$, lo cual es imposible si $g>0$).

Podemos suponer $n>g$ (si no, a continuación, añadir más puntos a $S$). Como $\dim H^1(\Sigma,\mathcal{O})=g$ y todos los $\alpha_i$'s no$0$,$c_1,\dots,c_n\in\mathbb{C}$, todos los no-$0$, de tal manera que $\sum c_i\alpha_i= 0\in H^1(\Sigma,\mathcal{O})$. Si usted escribe $\sum c_i\alpha_i$ como coboundary para la apertura de la tapa $\Sigma-S,D_1,D_2,\dots,D_n$$\Sigma$, el holomorphic de la función en $\Sigma-S$ es una función de meromorphic en $\Sigma$ con un simple polo en cada punto de $S$, por lo tanto no se ramificó en $S$, y su grado es el número de polos (es decir,$n$).

edit he cambiado mi respuesta completamente ya que contenía un mortal brecha