Demostrar que $I = \langle X^2,X+1\rangle$el % ideal es principal o no (en $\mathbb{Z}[X]$ y $\mathbb{Q}[X]$)

Question

Probé los siguientes $$I = \langle X^2,X+1\rangle =\langle X^2,X+1,X^2+2(X+1)\rangle =\langle X^2,X+1,(X+1)^2+1 \rangle$ $

Pero no importa cómo organizamos, no puedo obtener $1$. ¿Alguien me puede ayudar?

Answer 1

$-(X+1)^2+X^2+2(X+1)=1$. Por lo tanto, su ideal contiene $1$.

Answer 2

Observe que $I$ contiene $$X^2+(X+1)(-X+1) =1$ $

Answer 3

De tu pregunta anterior $(x+1,f(x)) = (1)\iff f(-1)\mid 1$ que es verdad $\,f(x) = x^2.$

Nota $ $ las otras respuestas son esencialmente un caso especial de la prueba en la pregunta anterior.

Si desea obtener más algorítmica insight acerca de cómo realizar estos cálculos y seguir el enlace dio aquí en forma Normal de Hermite.

Answer 4

Estoy usando $\langle f,g \rangle = \langle r,g \rangle$ cuando $f=h\,g+r$ $h,r \in K[X]$.

Así que vamos a hacer la división polinómica:

Así que conseguir ambos $\langle 1,g \rangle$ $\mathbb{Z}[X]$ y $\mathbb{Q}[X]$, o simplemente $\langle 1 \rangle$.