G es el producto de sus subgrupos de Sylow

Question

Quiero probar lo siguiente:

Si cada subgrupo de Sylow de $G$ es un subgrupo normal, a continuación, $G$ es isomorfo al producto de sus subgrupos de Sylow.

Hasta ahora, he llegado a darse cuenta de que para cada factor primordial $p_i$$|G|$, no es exactamente un subgrupo de Sylow y que estos forman una partición de $G$. Sin embargo, estoy teniendo problemas para encontrar el isomorfismo entre el $G$ y el producto que voy a llamar a $G_1 \times \ldots \times G_r$. Mi idea era usar el mapeo $(g_1, \ldots, g_r) \mapsto g_1\ldots g_r$, que es un bijection, pero no veo si es un homomorphism. En general, no todos los elementos de a $G_i$ conmuta con elementos de $G_j$, así que uno no puede simplemente cambiar el orden de los elementos en el producto.

Answer 1

Recordar la siguiente criterio:

Criterio. Un grupo de $G$ es un producto directo si y sólo si tiene dos subgrupos normales $H,K$ tal que $H \cap K = \{1\}$$G = HK$.

Este criterio da, por inducción

Criterio bis. Un grupo de $G$ $n$veces producto si y sólo si tiene $n$ normal subgrupos $H_1,\ldots,H_n$ tal que $G = H_1 \ldots H_n$$H_i \cap (H_1 \ldots H_{i-1} H_{i+1} \ldots H_n) = \{1\}$.

En el caso de que usted tiene los subgrupos de Sylow $P_1,\ldots,P_r$ que son normales por hipótesis. La igualdad de $G = P_1 \ldots P_r$ sigue de cardinalidad consideraciones, y $P_i \cap (P_1 \ldots \widehat{P_i} \ldots P_n) = \{1\}$ sigue a partir de consideraciones de orden.

De hecho, usted puede cambiar el orden en el producto! De hecho, vamos a $g \in G_i$, $h \in G_j$. A continuación,$g h g^{-1} h^{-1} \in G_j \cap G_i$. Pero $G_j$ $p_j$- $G_i$ $p_i$- grupo! Si un elemento se encuentra en su intersección, su pedido debe dividir ambos $p_i^n$$p_j^m$, por lo tanto es $1$.