Encuentra una función que satisfaga ciertas condiciones.

Question

¿Es posible encontrar una función con ciertas condiciones?

$$x \gt 0 \Rightarrow f(x) \gt 0$ $$$x = 0 \Rightarrow f(x) = 0$ $$$f'(1)+f'(6)=a \ne 0$ $$$f'(2)+f'(5)=0$ $$$f'(3)+f'(4)=0$ $$$f'(1) \ne 0$ $$$f'(2) \ne 0$ $$$f'(3) \ne 0$ $$$f'(4) \ne 0$ $$$f'(5) \ne 0$ $$$f'(6) \ne 0$ $

No me importa cómo se comporta la función cuando$x<0$.

La función, así como su derivada, debe ser continua.

Posiblemente, hay algún enfoque para construir tal función.

Gracias.

Answer 1

Hay una construcción de un suave función de verificar exactamente sus condiciones :

Lema 1 Deje $\varepsilon>0$. Existe una función suave $g_{\varepsilon}$ tal que $$ g_{\varepsilon}(x)\left\{ \begin{aligned} =1 &\quad \text{if} \quad x\leq 0\\ \in (0,1)&\quad \text{if} \quad x\in (0,\varepsilon) \\ =0 & \quad \text{if} \quad x\in [\varepsilon,+\infty) \end{aligned} \right. $$

Prueba :

Deja $$h(x)=\left\{ \begin{aligned} 0 &\quad \text{if} \quad x\leq 0\\ e^{-\frac1x} & \quad \text{if} \quad x>0 \end{aligned} \right. $$

A continuación, $h$ es una función suave (prueba por inducción sobre $n$$h^{(n)}$) estrictamente creciente para $x>0$.

Es suficiente para definir $$ g_{\varepsilon}(x):=\frac{h(h(\varepsilon)-h(x))}{h(h(\varepsilon))}. $$

Comentario: $g_{\varepsilon}$ es una aproximación suave de $1_{(-\infty,0]}$.

$ $

Lema 2
Para todos los $a,b\in \mathbb{R}$$\varepsilon>0$, existe una función suave $f_{a,b;\varepsilon}$ tal que $$f_{a,b;\varepsilon}(x)\left\{ \begin{aligned} =1 &\quad \text{if} \quad x\in [a,b]\\ \in (0,1)&\quad \text{if} \quad x\in (a-\varepsilon,a)\cup (b,b+\varepsilon) \\ =0 & \quad \text{if} \quad x\in (-\infty,a-\varepsilon]\cup [b+\varepsilon,+\infty) \end{aligned} \right. $$

Prueba :

Deje $g_{\varepsilon}$ se define como en el Lema 1. Sólo tenemos que definir $$ f_{a,b;\varepsilon}:= g_{\varepsilon}(-x+a)\times g_{\varepsilon}(x-b)$$

Comentario: $f_{a,b;\varepsilon}$ es una aproximación suave de $1_{[a,b]}$.

Función principal (para la pregunta original)

$$\boxed{ f(x):=(2|a| +ax)f_{\frac{1}{4}, \frac32+\frac14;\frac14}(x)+f_{\frac{3}{2}, \frac52;\frac14}(x) +f_{\frac{5}{2}, \frac72;\frac14}(x) + f_{\frac{7}{2}, \frac92;\frac14}(x)+ f_{\frac{9}{2}, \frac{11}2;\frac14}(x)+ f_{\frac{11}{2}, \frac{13}2;\frac14}(x)+ g_{\frac14}(-(x-\tfrac{13}2))}$$

Ya que, en particular,$f'(1)=a$, $f'(2)=f'(3)=f'(4)=f'(5)=f'(6)=0\ $ y $f(0)=0$, e $f(x)>0$$x>0$, se le han hecho $$x \gt 0 \Rightarrow f(x) \gt 0$$ $$x = 0 \Rightarrow f(x) = 0$$ $$f'(1)+f'(6)=a \ne 0$$ $$f'(2)+f'(5)=0$$ $$f'(3)+f'(4)=0$$

Función principal (para el real editado pregunta)

$$\boxed{ \begin{align*} f(x):=& \Big(|a|+\frac{a}{2}x\Big)f_{\frac{1}{4}, \frac32+\frac14;\frac14}(x)+(6-x)f_{\frac{3}{2}, \frac52;\frac14}(x) +(6-x)f_{\frac{5}{2}, \frac72;\frac14}(x)+ xf_{\frac{7}{2}, \frac92;\frac14}(x) \\ &+ xf_{\frac{9}{2}, \frac{11}2;\frac14}(x)+ \Big(6|a|+\frac{a}{2}x\Big)f_{\frac{11}{2}, \frac{13}2;\frac14}(x)+ g_{\frac14}(-(x-\tfrac{13}2)) \end{align*} } $$ Que es una función suave de verificar (desde $f'(1)=f'(6)=\frac{a}2$, $f'(2)=f'(3)=-1$, $f'(4)=f'(5)=1$, y todavía tenemos $f(x)>0$$x>0$$f(0)=0$) todas las siguientes $$x \gt 0 \Rightarrow f(x) \gt 0$$ $$x = 0 \Rightarrow f(x) = 0$$ $$f'(1)+f'(6)=a \ne 0$$ $$f'(2)+f'(5)=0$$ $$f'(3)+f'(4)=0$$ $$f'(1) \ne 0$$ $$f'(2) \ne 0$$ $$f'(3) \ne 0$$ $$f'(4) \ne 0$$ $$f'(5) \ne 0$$ $$f'(6) \ne 0$$

Es que bueno para usted?

Answer 2

(Lo siguiente se refiere al estado de la cuestión en 03/10/18, 15:00 MEZ.)

Vamos en primer lugar, construir la función de $g(x):=f'(x)$, en la que tenemos que distinguir los dos casos (i) $a>0$, (ii) $a<0$. El "provisional" de las funciones $$\eqalign{h_1(x) y:=(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),\cr h_2(x) y:=(x-2/3)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-19/3)\cr}$$ son simétricas con respecto a la vertical $x=3.5$; por otra parte $$h_i(2)=h_i(3)=h_i(4)=h_i(5)=0\qquad(1\leq i\leq 2)\ ,$$ $$h_1(1)=h_1(6)>0,\quad h_2(1)=h_2(6)<0\ ,$$ consulte la siguiente figura.

De ello se sigue que las funciones $$\eqalign{g_1(x)&:=h_1(x)+10(x-3.5)\cr g_2(x)&:=h_2(x)+10(x-3.5)\cr}$$ satisfacer $$g_i(2)=-g_i(5)\ne0,\quad g_i(3)=-g_i(4)\ne0,\quad g_1(1)+g_1(6)>0, \quad g_2(1)+g_2(6)<0\ .$$ Por tanto $g_i$s la función $$f(x):=\int_0^x g_i(t)\>dt$$ satisface todos los requisitos aparte de $f'(1)+f'(6)=a$ de la $a$. Seleccione la $g_i$, según el signo de $a$ y la escala de la resultante $f$ por el buen positiva factor en orden de cumplir con esta última condición. El resultado $f$s, entonces el siguiente aspecto:

Answer 3

El derivado $D(t) = f'(t)$ puede ser obtenido mediante interpolación de Lagrange polinomio con los datos de la tabla $$ \begin{pmatrix} x=&1&2&3&4&5&6\\ y=&a/2&b&c&-c&-b&a/2 \end{pmatrix}, $$ donde los valores de $b\not=0,c\not=0$ ha de satisfacer la condición de $f(x)>0,$ si $x>0$ para el valor dado $a.$

Así $$D(t) = \dfrac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)}{(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)(1-6)}\dfrac a2$$ $$+\dfrac{(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)}{(2-1)(2-3)(2-4)(2-5)(2-6)}b$$ $$+\dfrac{(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)(x-6)}{(3-1)(3-2)(3-4)(3-5)(3-6)}c$$ $$+\dfrac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)(x-6)}{(4-1)(4-2)(4-3)(4-5)(4-6)}(-c)$$ $$+\dfrac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)}{(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)(5-6)}(-b)$$ $$+\dfrac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)}\dfrac a2$$

$$D(t) = (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)\dfrac{a}{48}+(x-1)(x-3)(x-4)(2x-7)(x-6)\dfrac{b}{24}-(x-1)(x-2)(2x-7)(x-5)(x-6)\dfrac{c}{12}\tag1$$

Fácil ver que la interpolación de Lagrange polinomio permiten elegir varias formas de derivación debido a los parámetros $b,c$ de la $a$ (se utilizó $a=10$).

La comprobación de la condición de $$f(x) = \int_0^xD(t)dt > 0,\quad x\in(0,6]$$

y el signo positivo de $D(t)$ $[6, \infty)$ garantía de que la función $$\boxed{f(x) = \begin{cases} 0, \text{ if }\ x\in(-\infty, 0]\\[4pt] \dfrac{ax}{1440}(1584 - 846 x + 374 x^2 - 81 x^3 + 6 x^4), x\in(0,\infty)\\[4pt] \end{casos}}$$ para $a>0$ correspondiente con $b=\dfrac25a,\ c=\dfrac15a,$ está satisfecho con la cuestión de la condición $f(x)>0,\ x\in(0,\infty),$ y los valores conocidos de $D(x) = f'(x)$ indican que todas las otras condiciones son demasiado satisfecho,

y que la función $$\boxed{f(x) = \begin{cases} 0, \text{ if }\ x\in(-\infty, 0]\\[4pt] \dfrac{-ax}{1440}(-18576 + 20850 t - 10490 t^2 + 2655 t^3 - 330 t^4 + 16 t^5), x\in(0,\infty)\\[4pt] \end{casos}}$$ para $a<0$ correspondiente con $b=\dfrac25a,\ c=-\dfrac15a,$ está satisfecho con la cuestión de la condición $f(x)>0,\ x\in(0,\infty),$ y los valores conocidos de $D(x) = f'(x)$ indican que todas las otras condiciones son demasiado satisfecho,

Esto significa que el problema está resuelto.

Fácil ver que los parámetros de $b,c$ permiten satisfacer algunas condiciones adicionales para el quinto polinomios de grado y una gran cantidad de condiciones, teniendo en cuenta Lagrange interpolación de polinomios de las órdenes superiores.

Answer 4

Creo que es totalmente posible.

Lo que necesitamos es un cúbicos-como la función de partida en $(0,0)$, que tiene un máximo local punto de inflexión en $x\in(1,2)$, un mínimo local punto de inflexión en $x\in(3,4)$ por encima de la $x$-eje y aumentando después de eso.

Esto es para que

• la función se inicia en el origen

• la función está siempre por encima de la $0$ al $x>0$

• no hay puntos de inflexión en$x=1,\cdots,6$, por lo que cada una de las $f'(x)\neq0$ se cumple

• la función es creciente en$x=1$$x=6$$f'(1)+f'(6)\neq0$.

• la función es creciente en $x=2$ y la disminución en el $x=5$, por lo que dadas las pendientes son iguales, tenemos $f'(2)+f'(5)=0$

• la función es decreciente en $x=4$ y el aumento en$x=5$, por lo que dadas las pendientes son iguales, tenemos $f'(3)+f'(4)=0$

Una función que satisfaga a todos, pero una condición es $$f(x)=x\left(x-7+\frac{\sqrt{46}}2\right)^2$$ The only flaw is that $f'(2)+f'(5)=12\neq0$. Para una visualización ver aquí.

Sin embargo, estoy seguro de que hay muchas otras funciones más complicadas, hay que satisfacer este criterio también.

Answer 5

(Lo siguiente se aplica al estado de la cuestión a partir de marzo $12$, $2018$; $11$ am UTC-$6$).

Voy a empezar con $$g(x)=0.02x^2\big((x-3.5)^2+0.2\big)(7-x)^2.$$ The leading coefficient $0.02$ is just so that $g$ isn't that big on $[0,7]$, while the $+0.2$ in the middle is so that $g(3.5) > 0$. Function $g$ is continuous, smooth and symmetrical at $x=3.5$ . However, $g$ is not perfect, since $g ' (1) + g'(6) = 0 $ and $g (7) =0$. As a workabout, I will add to $g$ two gaussian functions that shall act as somewhat-continuous indicator functions, namely $$\exp\left(-\frac{(x-1.1)^2}{0.01}\right) +\exp\left(-\frac{(x-7)^2}{0.01}\right).$$ The first gaussian is for breaking the symmetry around $x=1$; the choice of $1.1$ (which is the peak of the gaussian) is so that the slope at $x=1$ is positive (the slope at the peak is zero). The second gaussian is just for ensuring positiveness around $x=7$. Lastly, I propose this function: $$f(x)= \exp\left(-\frac{(x-1.1)^2}{0.01}\right) +\exp\left(-\frac{(x-7)^2}{0.01}\right) +0.02x^2\big((x-3.5)^2+0.2\big)(7-x)^2.$$ Remarks: $f ' (1) + f'(6) \approx 7.3576$ and $f(7) > 0$; also, $f $ satisfies most of the OP's desired properties ($ $ who?), specially the part where we don't care how $f $ is for $x