Para encontrar la última cifra del número $4^{7^5}$ ?

Question

Para encontrar la última cifra del número $4^{7^5}$ Utilizo el siguiente método.

primero, sabemos $4\equiv_{10}4,4^2\equiv_{10}6,4^3\equiv_{10}4,...,4^{2n}\equiv_{10}6,4^{2n+1}\equiv_{10}4$

Entonces $7^1\equiv_21,7^2\equiv_21,7^3\equiv_21,...,7^5\equiv_21$

Por lo tanto, $4^{7^5}\equiv4^{2k+1}\equiv_{10}4$ (por el resto 1)

y si para encontrar el último dígito de $4^{8^3}$ en su lugar, la respuesta será 6. Porque $8^n\equiv_20,n\in \mathbb{N^+}$ así que $8^n=2k,k\in\mathbb{N^+}$ . Desde arriba, $4^{2k}\equiv_{10}6$

¿Es correcto mi método?

Answer 1

$$4^{7^5}=4\cdot\left(4^2\right)^{\frac{7^5-1}{2}}\equiv4\cdot6(\mod10)\equiv4(\mod10)$$

Answer 2

Su método es correcto. Otra forma es considerar el fácil hecho de que

$$2^{4n+k}= \begin{cases}2\pmod {10}\text{ for}\space k=1\\4\pmod {10}\text{ for}\space k=2\\8\pmod {10}\text{ for}\space k=3\\6\pmod {10}\text{ for}\space k=0\end{cases}$$ y el cálculo $$7^5=16807$$ Entonces $$4^{7^{5}}=2^{33614}=2^{33612+2}=4\pmod{10}$$