¿Es el conjunto de $\{|f(0)|: \int_{0}^{1}|f(t)|dt\le1\}$ limitada?

Question

Deje $x_0 \in [0,1]$ y definen $T:C[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ por $T_{x_0}(f)=f(x_0)$. Deje $||\cdot||_1$ ser una norma en $C[0,1]$. Es $T_0$ delimitada o no? Es decir, es el conjunto $$ \left\{|T_{0}(f)|:||f||_1 \leq 1\right\}=\{|f(0)|:||f||_1 \leq 1,f \in C[0,1]\} $$ bounded? Since $||f||_1:=\int_{0}^{1}|f(t)|dt$, la pregunta puede ser equivalente a la siguiente:

Deje $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ ser continua. Es el conjunto $$\left\{|f(0)|: \int_{0}^{1}|f(t)|dt \leq 1\right\}$$ limitada?

Supongo que la respuesta es no. Porque, por ejemplo, podemos tener una función cuya gráfica es un pequeño pico en el origen, pero con infinidad de altura. El área encerrada por la gráfica puede ser de 1, pero el valor en el origen $f(0)$ cual es su altura es infinito.

Pero, ¿cómo puedo probar que este formalmente?

Answer 1

No, no está delimitado. Definir, para cada <span class="math-container">$n\in\mathbb N$</span>,<span class="math-container">$$\begin{array}{rccc}f_n\colon&[0,1]&\longrightarrow&\mathbb R\&t&\mapsto&\begin{cases}n-n^2t&\text{ if }t\leqslant\frac1n\0&\text{ otherwise.}\end{cases}\end{array}$$Then<span class="math-container">$$\int_0^1\bigl\lvert f_n(t)\bigr\rvert\,\mathrm dt=\frac12,$$</span>but <span class="math-container">$ f_n (0) = n$</span>.</span>

Answer 2

Se puede tomar una función de $f_n$ tal que $f_n$ es afín en $(0,1/n)$, $f_n(0)=2n$ e $f_n(1/n)=0$ e $0$ para el resto de los valores del intervalo. A continuación, $\left\lVert f_n\right\rVert_1=1$.

Formal de ejemplo: definir, para cada entero positivo $n$ la función de $f_n$ , de la siguiente manera: $f_n(t)=-2n^2t+2n$ para $0\leqslant t\leqslant 1/n$ e $f_n(t)=0$ para $1/n\lt t\leqslant 1$.

Answer 3

Considerar la función <span class="math-container">$fn(x)=2n(1/n-x)1{[0,1/n]}(x).$</span> entonces <span class="math-container">$\int_0^1 |f_n(x)|dx=1$</span> <span class="math-container">$f_n(0)=2n.$</span>

Answer 4

Para cada $a>0$, la función $$f_a(x)=\frac{2 a e^{-a^2 x^2}}{\sqrt{\pi} \textrm{erf}(a)}$$ with the error function $\textrm{fer}(a)=\frac{2}{\pi}\int_0^e^{-t^2}dt$ is in the set $\{|f(0)|: \int_{0}^{1}|f(t)|dt=1\}$ and evaluates to $f_a(0)=\frac{2 }{\sqrt{\pi} \textrm{fer}(a)}$. Because $\textrm{fer}(a) \rightarrow 1$ as $\rightarrow \infty$, we obtain $f_a(0)$ arbitrarily large as we increase $$. As a consequence, $f_a(0)$ y por lo tanto su conjunto son ilimitados.

Para cada $a>0$, la función de $f_a(x)$ es de $C[0,1]$ e incluso infinitamente diferenciable en a$[0,1]$.