Su argumento no funciona, ya que - como se ha mencionado en los comentarios - dado cualquier conjunto infinito $A$ hay un mapa de $f:A\rightarrow A$ que es surjective pero no inyectiva (o inyectiva pero no surjective, si prefiere).
Sin embargo, la afirmación es verdadera, y la prueba es simple:
Supongamos $B, B'$ son infinitas bases de $\mathbb{V}$ con $\vert B\vert<\vert B'\vert$.
Para cada una de las $b\in B$, hay un número finito de $F_b\subseteq B'$ con $b\in\langle F_b\rangle$.
Desde la unión de $\vert B\vert$-muchos finito de conjuntos tiene cardinalidad $\vert B\vert$, el conjunto de $$\hat{B}=\bigcup_{b\in B}F_b$$ has cardinality $\vert B\vert$.
Desde $\vert B\vert<\vert B'\vert$, por lo tanto debe ser algo de $a\in B'\setminus\hat{B}$.
Pero desde $B$ abarca $\mathbb{V}$, $a$ se puede escribir como una combinación lineal de los elementos de $B$, y por lo tanto se puede escribir como una combinación lineal de los elementos de $\hat{B}$. Esto contradice la independencia lineal de $B'$.
Como una rápida pedagógico de lado, he aquí un intento de prueba que no acaba de funcionar:
Desde $B$ es una base para $\mathbb{V}$, tenemos que cada elemento de a$B'$ puede ser representado como una combinación lineal finita de elementos del campo de escalares $F$. Utilizando el hecho de que el conjunto finito de subconjuntos de un conjunto infinito tiene la misma cardinalidad que el conjunto original, la cardinalidad del conjunto de combinaciones lineales de elementos de $B$ es $\vert B\vert\times\vert F\vert$, y así obtenemos $$\vert B'\vert\le\vert B\vert\times\vert F\vert.$$
En el caso de $F$ es "pequeño" , es decir, en el caso de $\vert F\vert\le\vert B\vert$ - a continuación, llegamos $\vert B'\vert\le\vert B\vert$ (ya que la multiplicación de dos infinito cardinalidades sólo los resultados en el mayor de los dos). Pero en el caso de $F$ es grande, no conseguimos nada. E. g. este argumento no se descarta la posibilidad de un espacio vectorial sobre un campo de cardinalidad $\aleph_{\omega^3+\omega\cdot 842+17}$ con una base de cardinalidad $\aleph_{\omega^2+9}$ y otra base de cardinalidad $\aleph_0$.
Tenga en cuenta que hemos usado el axioma de elección crucial en el anterior al calcular la cardinalidad de a$\hat{B}$ (que necesitábamos para concluir la existencia de $a$). Sin el axioma de elección, el argumento anterior se rompe. Este es el único indispensable el uso de la opción - tenga en cuenta que el segundo de puntos hace que no requieren de elección, ya que no hay un único mínimo elección de $F_b$.
El pleno axioma de elección no es necesario, y el estudio general de cuánto elección sea necesario para probar varios de los resultados matemáticos - alrededor de espacios vectoriales y otros temas - es muy rica, yo quiero señalar que la dependencia en algo más allá de la teoría de conjuntos sin elección, aquí.
