Estoy tratando de encontrar los símbolos de Christoffel de la métrica de Lorentz <span class="math-container">$${\rm d}s^2 = \cos(2\pi x)({\rm d}x^2-{\rm d}y^2) - 2\sin(2\pi x)\,{\rm d}x\,{\rm d}y$$by looking at the Euler-Lagrange equations for <span class="math-container">$$L(x,\dot{x},y,\dot{y}) = \cos(2\pi x)(\dot{x}^2-\dot{y}^2) - 2\sin(2\pi x)\,\dot{x}\,\dot{y}.$$</span>I have already done my fair share of computations like this, but I must be making some algebraic mistake that I cannot find for the life of me. If we write <span class="math-container">$$\begin{align}\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}&\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) = -2\pi\sin(2\pi x)(\dot{x}^2-\dot{y}^2)-4\pi\cos(2\pi x)\dot{x}\dot{y} \ &\qquad - \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\left(2\dot{x}\cos(2\pi x) - 2\dot{y}\sin(2\pi x)\right),\end{align} $$</span>and we will have a term with <span class="math-container">$\ddot{y}$</span>. This is a problem, since as far as I understand the geodesic equation corresponding to the <span class="math-container">$x$</span>-coordinate should have the form <span class="math-container">$$\ddot{x} + \Gamma(\dot{x},\dot{y})=0,$$</span>tal vez después de dividir por algo. ¿Qué pasa?</span>
Respuesta
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La variación infinitesimal de la Lagrangiana $$ L(x,\dot{x})~=~ g_{ij}(x)~ \dot{x}^i\dot{x}^j \tag{1} $$ es $$ \frac{1}{2}\delta L~=~ -\left\{ \color{blue}{ g_{k\ell}\ddot{x}^{\ell}} +\color{red}{\Gamma_{k,ij} \dot{x}^i\dot{x}^j}\right\}\delta x^k +\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\{ \color{verde}{ g_{k\ell}\dot{x}^{\ell} \delta x^k}\right\},\etiqueta{2} $$ donde hemos introducido la disminución de Levi-Civita de símbolos de Christoffel $$\Gamma_{k,ij}~:=~g_{k\ell}\Gamma^{\ell}_{ij}. \tag{3} $$ Tenga en cuenta que la ecualización. (2) contiene tres tipos diferentes de términos (que se muestra en diferentes colores), que son los únicos que se caracteriza por la forma de las $t$-derivados que se distribuyen.
En particular, vemos que la línea geodésica ecuaciones se multiplican con la métrica, cf. OP de la última pregunta.
Ejemplo. OP de Lagrange lee $$L~=~c(\dot{x}^2-\dot{y}^2) - 2s\dot{x}\dot{y}, \qquad c~:=~\cos(2\pi x), \qquad s~:=~\sin(2\pi x) ,\tag{4}$$ correspondiente a la métrica $$ \begin{pmatrix} g_{xx} & g_{xy} \cr g_{yx} & g_{yy} \end{pmatrix} ~=~\begin{pmatrix} c & -s \cr -s & -c \end{pmatrix}. \tag{5}$$ Calculamos la variación infinitesimal: $$\begin{align}\frac{1}{2} \delta L ~=~&\left\{ \color{blue}{s\ddot{y}-c\ddot{x}} + \color{red}{\pi s (\dot{x}^2+\dot{y}^2)} \right\} \delta x + \left\{ \color{blue}{s\ddot{x}+c\ddot{y}} + \color{red}{2\pi (c\dot{x}^2-s\dot{x}\dot{y})} \right\} \delta y \cr & + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\{ \color{green}{(c\dot{x}-s\dot{y})\delta x -(s\dot{x}+c\dot{y})\delta y}\right\}, \end{align}\etiqueta{6}$$ el cual debe ser comparado con la fórmula general (2).
Desde el rojo términos en la ecuación. (6) podemos leer en el no-cero reducido de símbolos de Christoffel $$ \Gamma_{x,xx}~=~-\pi s ~=~\Gamma_{x,yy}~=~-\Gamma_{y,xy}, \qquad \Gamma_{y,xx}~=~-2\pi c,\tag{7} $$ cf. OP título.
