Límites en el infinito e igualdad de límites

Question

Se me da la función $f:(a,\infty)\to\mathbb{R}$ la cual tiene un límite en el infinito, es decir, $\lim_{x \to \infty}f(x)$ existe, llámalo $L$. Y quiero mostrar que dada una función $g(x) := {f(1/x)},$ la cual está definida en $(0,1/a),$ esa función $g(x)$ tiene un límite en 0 si y solo si el límite de $f$ cuando $x$ tiende a infinito existe.

Sé que tengo que usar la definición $\epsilon - \delta$, pero antes de eso creo que la siguiente formulación es equivalente: \begin{gather} \lim_{x \to \infty}f(x) = \lim_{x \to 0}f(1/x). \end{gather} Sé que esto es solo un ejercicio persiguiendo la notación $\epsilon - \delta$, pero creo que el "truco" aquí es usar el hecho de que si $f$ tiene un límite en el infinito, entonces para todo $\epsilon > 0,$ existe un $M > a$ tal que para todo $x \geq M$ tenemos que $|f(x) - L| < \epsilon$. Por lo tanto, creo que la idea aquí es elegir mi $\delta$ como $1/M$ ya que tenemos que \begin{gather} x \geq M \implies 1/x \leq 1/M \end{gather} y sabemos que si $x \geq M$ entonces $|f(x) - L| < \epsilon.$ Entonces, si suponemos que $\epsilon_0 > 0$ y que $|f(1/x) - L| < \epsilon_0$ ¿será suficiente $\delta_0 = 1/M$? Mi intuición dice que sí, pero no estoy seguro de cómo formular esto rigurosamente.

Answer 1

Sí, eso está completamente bien de hecho

$$\lim_{y \to \infty}f(y) = L \iff \forall \epsilon > 0 \quad \exists \bar y > 0 \quad \forall y > \bar y \quad |f(y) - L| < \epsilon$$

y dado que para $g(x) = \frac{1}{x}$ tenemos

$$\lim_{x \to 0^+}g(x) = \infty \iff \forall M > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall x > 0 \quad x < \delta \quad g(x) > M$$

entonces, tomando $\bar y = M$ para $f(g(x))$ tenemos que

$$\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall x > 0 \quad x < \delta \quad |f(g(x)) - L| < \epsilon$$

es decir,

$$\lim_{x \to 0^+}f(g(x)) = L$$