(Limite de

Question

Tengo problemas para resolver el límite siguiente: <span class="math-container">$$ \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n!}\right)^n $ $</span> Intuituvely el límite es igual a 1, pero los ejercicios a resolver mediante cálculo requiere y no tengo ni idea cómo puedo lograrlo.
¿Puede alguien por favor explicarlo a mí?

Answer 1

Pensé que podría ser instructivo para presentar una solución que se basa en la primaria de las desigualdades y el teorema del sándwich sólo. Para ello, vamos a proceder.

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Usando la desigualdad de $1+x\le \frac1{1-x}$, $x<1$, junto con la Desigualdad de Bernoulli, tenemos para $n\ge 2$

$$1\le \left(1+\frac1{n!}\right)^n\le \frac1{\left(1-\frac1{n!}\right)^n}\le \frac1{1-\frac1{(n-1)!}}$$

cual aplicación del teorema del encaje de los rendimientos de la codiciada límite.

Answer 2

INSINUACIÓN

Tenemos

PS

luego refiérase al límite estándar para $$\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n!}\right)^n=\lim_{n \to \infty} \left[\left(1+\frac{1}{n!}\right)^{n!}\right]^{\frac1{(n-1)!}}$ . ¿Cómo podemos concluir forma aquí?

Answer 3

Basta con calcular el límite del logaritmo y demostrar que es igual a cero. Es decir, tenga en cuenta que $$ n\log\left(1+\frac{1}{n!}\right)=n\times \frac{1}{n!}\veces \frac{\log\left(1+\frac{1}{n!}\right)}{1/n!} $$ Ahora vamos a $n\to \infty$. Utilizando el hecho de que $$ \lim_{u\to 0}\frac{\log(1+u)-\log1}{u-0}=1 $$ por definición de la derivada obtenemos que $$ \frac{1}{(n-1)!}\veces \frac{\log\left(1+\frac{1}{n!}\right)}{1/n!}\to0\veces 1=0 $$ como $n\to \infty$.

Answer 4

Tenga en cuenta que $$ \ frac {1} {n!} <\ Frac {1} {n (n-1)} <\ frac {1} {(n-1) ^ 2} $$ Ahora pruebe que $$ \ lim_ {t \ to0} \ frac {\ log (1 + t ^ 2)} {t} = 0 $$ y observe que \begin{align} \left(1+\frac{1}{(n-1)^2}\right)^n&= \left(1+\frac{1}{(n-1)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(n-1)^2}\right)^{n-1} \\[6px] &=\left(1+\frac{1}{(n-1)^2}\right)\exp\left(f\left(\frac{1}{n-1}\right)\right) \end {align} Finalmente tenga en cuenta que $$ 1 \ le \ left (1+ \ frac {1} {n!} \ derecha) ^ n $$

Answer 5

Desde la Marca de la Viola ya ha utilizado la escuela primaria, el enfoque de la desigualdad de Bernoulli aquí es uno más enfoque a través teorema del binomio.

Para ello utilizaremos el siguiente lema de Thomas Andrews (demostrado usando el teorema del binomio):

Lema: Si $\{a_n\} $ es una secuencia de real o complejo términos tales que $n(a_n-1)\to 0$ entonces $a_n^n\to 1$.

Ahora uso $a_n=1+(1/n!)$ y compruebe que $n(a_n-1)=1/(n-1)!\to 0$. El que desee limitar el es $1$ por el lema anterior.