¿Tiene este polinomio un valor racional que sea el cuadrado de un número racional?

Question

Tengo el siguiente polinomio:

$$P(x,y,z):=9y^2z^2-30x^2z+90xyz+54yz-270x+81\in\mathbb Q[x].$$

Se ha presentado en una prueba más amplia, y necesitaría para completar la prueba demostrar el siguiente resultado:

¿Existe $(x,y,z,r)\in\mathbb Q^4$ tal que $x\ne 0$ y

$$P(x,y,z)=r^2.$$

Podemos reformular el problema de la siguiente manera:

¿La variedad algebraica definida por

$$9Y^2Z^2-30X^2Z+90XYZ+54YZ-270X+81-T^2$$

tienen un punto racional con $X\ne 0$ ?

No tengo ni idea de cómo abordar este problema, he buscado varios artículos, pero nada parece aplicarse a esta cuestión en particular.

Cualquier sugerencia o referencia será muy apreciada.

Answer 1

Dos soluciones obvias son $P(0,0,0)=(\pm9)^2$ .

Para encontrar más soluciones, enchufe $z=0$ produce $$P(x,y,0)=-270x+81,$$ que es un cuadrado para $x=\frac{81-t^2}{270}$ para cualquier elección de $t\in\Bbb{Q}$ y cualquier elección de $y\in\Bbb{Q}$ .